2011　東北学院大学　前期分割文，経済，経営，法，教養学部2月2日

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}=3$のとき，$x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$と$x^3+{\displaystyle \frac{1}{x^3}}$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅱ)　$2$次関数$y=x^2+ax+b$のグラフが$2$点$(1,0)\text{，}(-2,-3)$を通るとき，$a\text{，}b$の値とこの関数の最小値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅲ)　${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{5}-1}}$の整数部分を$c\text{，}$小数部分を$d$とするとき，$2cd+5$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅳ)　$-1<x<3\text{，}1\leqq y\leqq 2$のとき，$x^2-y^2$のとりうる値の範囲を求めよ．

【２】　一辺の長さが$3$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{DB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$を，$\mathrm{AP}=1\text{，}\mathrm{DS}=2$となるようにとる．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$▵\mathrm{APS}$の面積を求めよ．

(ⅱ)　$3$つの線分の長さの和$\mathrm{PQ}+\mathrm{QR}+\mathrm{RS}$の最小値を求めよ．

【３】　$4^x+4^{-x}=7$のとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$2^x+2^{-x}$の値を求めよ．

(ⅱ)　$x$の値を求めよ．

【４】　$a$は$0\leqq a\leqq 2$を満たす定数とし，関数$y=|(x-a)(x-2)|$のグラフと$x$軸および$2$直線$x=0\text{，}x=2$で囲まれた部分の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$S$を$a$で表せ．

(ⅱ)　$S$の最大値と最小値を求めよ．

【５】　$a$を定数，$n$を$4$以上の自然数とする．${(x+a)}^n$の展開式における$x^{n-1}$の係数が$-24\text{，}{x}^{n-2}$の係数が$264$であるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a$と$n$の値を求めよ．

(ⅱ)　${(x+a)}^n$の展開式における$x^{n-3}$の係数を求めよ．

(ⅲ)　${}_{n}C_0+{}_{n}C_{1}a+{}_{n}C_2{a}^2+\cdots +{}_{n}C_r{a}^r+\cdots +{}_{n}C_n{a}^n$の値$S$を求めよ．

【６】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$をとり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(10,0)\text{，}\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=(0,15)$であるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を成分で表せ．

(ⅱ)　$\angle \mathrm{AOB}=\theta \text{（}0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}\text{）}$とするとき，$\cos \theta$の値と$▵\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．

(ⅲ)　原点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{OP}$をおろすとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．また，線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．