2011　東北学院大学　前期文系全学部

【１】　$2$次関数$y=3x^2-9x+5$のグラフを$C$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$C$の頂点の座標を求めよ．

(ⅱ)　$y$軸に関して$C$と対称な放物線をグラフとする$2$次関数を求めよ．

(ⅲ)　$C$を$x$軸方向に$a\text{，}y$軸方向に$-3a-2$平行移動すると原点を通る放物線$C_1$が得られた．このとき，$a$の値と$C_1$をグラフとする$2$次関数を求めよ．

(ⅳ)　(ⅲ)で得られた$2$次関数の$0\leqq x\leqq 1$における最小値を求めよ．

【２】　$1$枚$80$円，$100$円，$200$円の$3$種類の切手を次のように，あわせて$30$枚買う．$80$円切手の枚数は，$200$円切手の枚数の$3$倍と$100$円切手の枚数の和に等しく，どの切手も少なくとも$1$枚は買うものとし，さらに総額を$3000$円以下にする．このとき，$200$円切手をできるだけ多く買うためには，切手はそれぞれ何枚ずつ買えばよいか．

【３】　$2$つの円${(x+2)}^2+{(y+2)}^2=1$と${(x-6)}^2+{(y-4)}^2=9$を内部または周上に含む円で，半径が最小のものを$C$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　円$C$の中心$\mathrm{A}$の座標と半径$r$を求めよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}(x,y)$が円$C$の周上を動くとき，$x+2y$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　$3$次関数$f(x)$は$x^3$の係数が$1$で，$2$次方程式$f^{\prime }(x)=0$が$x=2$を重解にもち，$f(0)=0$を満たしているとする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f(x)$を求めよ．

(ⅱ)　方程式$f(x)=kx$が異なる$3$つの実数解をもつように，定数$k$の値の範囲を定めよ．

(ⅲ)　方程式$f(x)=3x+m$が異なる$3$つの実数解をもつように，定数$m$の値の範囲を定めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$2160$の正の約数は全部で何個あるか．またそれらの総和を求めよ．

(ⅱ)　$864$の正の約数のうち，$12$の倍数または$18$の倍数であるものは全部で何個あるか．またそれらの総和を求めよ．

【６】　平行四辺形$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=3\text{，}\mathrm{OC}=2$とし，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{L}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{LN}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{c}$で表せ．

(ⅱ)　線分$\mathrm{OM}$と$\mathrm{LN}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{OP}:\mathrm{PM}$を求めよ．

(ⅲ)　線分$\mathrm{OM}$と$\mathrm{LN}$が垂直であるとき，線分$\mathrm{LN}$の長さを求めよ．