2011　千歳科学技術大　Ⅱ期

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(1)　$x+y+z=2$かつ$xy+yz+zx=-3$のとき，$x^2+y^2+z^2$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(2)　$f(x)=x^3+a{x}^2-4x-b$が$x^2-x-6$で割り切れるように$a$と$b$の値を定めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(3)　以下の命題の真偽を答えなさい．なお，偽であるときには反例をあげなさい．

$\text{①}$　$a>b⟹a^2>b^2$

$\text{②}$　$a+b>0⟹a>0\text{または}b>0$

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(4)　グラフが$3$点$\mathrm{A}(0,2)\text{，}$$\mathrm{B}(1,6)\text{，}$$\mathrm{C}(-3,2)$を通る放物線となるような$2$次関数を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(5)　平面上の定点を$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})$とする．点$\mathrm{P}(\overrightarrow{p}\text{)}$についてのベクトル方程式$|3\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|=9$で表される円の中心の位置ベクトルおよび円の半径を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(6)　不等式$(x+y-1)(x-y-1)<0$が表す領域を図示しなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

(1)　$a=4\text{，}$$b=36$のとき，$a$と$b$の相加平均および相乗平均を求めなさい．

(2)　$a\geqq 0\text{，}$$b\geqq 0$のとき，${\displaystyle \frac{a+b}{2}}\geqq \sqrt{ab}$が成り立つことを証明しなさい．また，等号が成り立つのはどのようなときか示しなさい．

【３】　関数$y=2\sin x\sin 3x$$\cdots \text{①}$について以下の問いに答えなさい．ただし，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(1)　$\sin \alpha \sin \beta =-{\displaystyle \frac{1}{2}}\{\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )\}$を証明しなさい．

(2)　式$\text{①}$を$y=\cos ax-\cos bx$と変形するとき，$a$と$b$の値を求めなさい．ただし，$a\geqq 0\text{，}$$b\geqq 0$とする．解答欄には答のみ書きなさい．

(3)　$t=\cos 2x$として，式$\text{①}$を $y=p{(t+q)}^2+r$と変形することにより$y$の最大値，および最小値を求めなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

【４】　放物線$y=x^2+2x-5$と$y=-x^2+2x+5$について，以下の問いに答えなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

(1)　$2$つの放物線の交点の座標を求めなさい．

(2)　$2$つの放物線で囲まれた図形の面積を求めなさい．