2011　長崎県立大学　後期経済学部MathJax

【１】　次の問に答えなさい．

(1)　$6^{20}$の桁数を求めなさい．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【１】　次の問に答えなさい．

(2)　以下の問に答えなさい．

(ⅰ)　点$(2,-5)$から放物線$y=x^2$に引ける$2$本の接線の方程式を求めなさい．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた$2$本の接線と放物線とで囲まれる部分の図形の面積を求めなさい．

【１】　次の問に答えなさい．

(3)　$x=\sqrt{9-\sqrt{80}}$のとき，$x^3+{\displaystyle \frac{1}{x^3}}$の値を求めなさい．

【２】　$2$次関数$f(x)=a{x}^2-(a+1+b)x+1$について，次の問に答えなさい．ただし，$a>0\text{，}b>0$とする．

(1)　$f(x)=0$とする$2$次方程式について判別式を$D$とするとき，$D$を求めなさい．また，$D>0$であることを示しなさい．

(2)　$f(x)=0$の解を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とするとき，$\alpha \text{，}\beta$を求めなさい．ただし，判別式は$D$の文字のまま用いてよい．

(3)　$f(0)$および$f(1)$を求め，$0<\alpha <1<\beta$を示しなさい．

(4)　$0<a\alpha <1<a\beta$を示しなさい．

【３】　$\mathrm{AB}=5$とし，線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{C}$を$\mathrm{AC}=2\text{，}\mathrm{BC}=3$となるように定める．半径$r$の円が点$\mathrm{C}$で線分$\mathrm{AB}$に接しているとし，中心を$\mathrm{O}$とする．点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$からこの円へ接線を引き，点$\mathrm{C}$以外の接点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$とする．$\mathrm{\angle DOE}=90\mathrm{°}$とする．四角形$\mathrm{OHFG}$が長方形となるように，点$\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$をそれぞれ線分$\mathrm{DE}\text{，}\mathrm{OD}\text{，}\mathrm{OE}$上にとる．このとき，次の問に答えなさい．

(1)　半径$r$の長さを求めなさい．

(2)　線分$\mathrm{DF}$の長さを$x$とするとき，長方形$\mathrm{OHFG}$の面積を$x$を用いて表しなさい．

(3)　長方形$\mathrm{OHFG}$の面積が最大となる$x$の大きさを求めなさい．

【４】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$人がジャンケンをし，$1$回ごとに次のように点数が決まるものとする．グーを出して勝つと$1$点，負けると$-1$点，チョキを出して勝つと$2$点，負けると$-2$点，パーを出して勝つと$3$点，負けると$-3$点となり，また引き分けのときは互いに$0$点であるとする．

　$n$回ジャンケンをした後，それまでの$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の合計点数をそれぞれ$A_n\text{，}{B}_n$で表すとき，次の問に答えなさい．

(1)　$A_2=B_2$となる確率を求めなさい．

(2)　$A_3=B_3$となる確率を求めなさい．

(3)　$A_3>B_3$となる確率を求めなさい．

【５】　数列$\{a_n\}$に対して$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k\text{，}{T}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{a}_k$とおく．$a_1=1$で，すべての自然数$n$に対して$3S_n-6T_n+n(2n+1)a_n=0$が成り立つとき，次の問に答えなさい．

(1)　$a_2\text{，}{a}_3$を求めなさい．

(2)　$a_n$と$a_{n+1}$の関係式を$n$を用いて表しなさい．

(3)　一般項$a_n$を推測し，数学的帰納法を用いてその推測が正しいことを証明しなさい．