2011　福岡女子大学　前期

【１】　$2$次方程式$x^2+ax+b=0$は$2$つの複素数解$\alpha +i\beta$と$\alpha -i\beta$を持ち，$\alpha$と$\beta$は実数で，$\beta >0$とする．ただし，$i$は虚数単位である．次の問に答えなさい．

(1)　$\alpha$と$\beta$を$a$と$b$を用いて表しなさい．

(2)　$\alpha =\beta$であるとき，$2$次関数$y=x^2+ax+b$のグラフと，この放物線の軸，$x$軸，$y$軸とで囲まれる部分の面積を$\alpha$を用いて表しなさい．

【２】　$f(x)=x^3-3a{x}^2-3bx+c\text{，}H(x)={\displaystyle \int }f(x)dx$とおく．また，方程式$f^{\prime }(x)=0$は異なる解を持ち，$x=-1$はその$1$つの解とする．次の問に答えなさい．

(1)　$f^{\prime }(x)=0$を満たすもう$1$つの解を$a$を用いて表しなさい．

(2)　$a\leqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$H(x)$の値が$x>0$でつねに増加するための$c$の値の範囲を求めなさい．

(3)　$a>-{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$H(x)$の値が$x>0$でつねに増加するための$c$の値の範囲を求めなさい．

【３】　箱の中に赤いボールが$m$個，白いボールが$n$個入っており，各ボールには異なる名前がつけられている．次の問に答えなさい．

(1)　整数$l$を$1\leqq l\leqq m+n$とする．箱から異なる$l$個のボールを取り出して並べる順列の総数を求めなさい．

(2)　整数$k$を$1\leqq k\leqq l$とする．(1)の順列のうち，先頭からかぞえて$k$番目に赤いボールが来る順列の総数を求めなさい．

(3)　$l$人が順番にこの箱からボールを$1$つずつ取り出し，取り出したボールは元に戻さないとする．$k$番目の人が赤いボールを取り出す確率を求めなさい．

【４】　$a_1=3\text{，}{a}_{n+1}=2a_n-4n+1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で与えられる数列$\{a_n\}$について，次の問に答えなさい．

(1)　$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$で表しなさい．

(2)　一般項$b_n$を$n$の式で表しなさい．

(3)　一般項$a_n$を$n$の式で表しなさい．

【３】　関数$f(x)=e^{\sqrt{3}x}\sin x$について，次の問に答えなさい．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めなさい．

(2)　$x$が$0<x<\pi$の範囲にあるとき，関数$f(x)$の極値を与える$x$の値を求めなさい．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{e}^{\sqrt{3}x}\sin xdx$を計算しなさい．

【４】　座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心に一定の角$\theta$で回転移動する$1$次変換を$f$とし，一定の正の数$r$で各点$(x,y)$を点$(rx,ry)$に移す相似変換を$g$とする．また，$g$と$f$の合成変換$g\circ f$を表す行列を$K(r,\theta )$とする．原点$\mathrm{O}$と異なる座標平面上の点$\mathrm{P}(a,b)$に対して，点$\mathrm{Q}(c,d)$を次で定める：

$\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)=K(r,\theta )\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$

次の問に答えなさい．

(1)　$K(r,\theta )$を求めなさい．$r$を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を用いて表しなさい．

(2)　$0\mathrm{°}<\theta <180\mathrm{°}$ならば，$ad-bc>0$であることを示しなさい．

(3)　$0\mathrm{°}<\theta <180\mathrm{°}$ならば$\mathrm{▵OPQ}$の面積が${\displaystyle \frac{1}{2}}(ad-bc)$に等しくなる．このことを用いて，図のように，点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$を時計の針が回る方向と反対周りに順番に配置した三角形${\mathrm{▵P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3$の面積が

${\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \sum _{i=1}^3}(x_i-x_{i+1})(y_i+y_{i+1})$

に等しいことを示しなさい．ただし，$x_4=x_1\text{，}{y}_4=y_1$とする．