2011　九州歯科大学　前期

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\left|\overrightarrow{b}\right|=4$をみたす$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$に対して$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$が直交するとき，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　定積分$I={\displaystyle {\int }_{-1}^2}|x^3-3x^2+2x|dx$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$10$個の数$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6\text{，}7\text{，}8\text{，}9$の中から異なる数字を選んで$4$けたの数を作るとき，この$4$けたの数が$25$の倍数となるのは何通りあるか．

【２】　${\displaystyle \frac{\sin \theta }{{\cos }^2\theta }}+{\displaystyle \frac{\cos \theta }{{\sin }^2\theta }}=72(\sin \theta +\cos \theta )$が成り立つとき，次の問いに答えよ．

　ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とする．

(1)　$X={\displaystyle \frac{1}{\sin \theta \cos \theta }}$の値を求めよ．

(2)　$Y=\sin \theta +\cos \theta$の値を求めよ．

(3)　$Z=\sin \theta -\cos \theta$の値を求めよ．

(4)　$W=\tan 2\theta$の値を求めよ．

【３】　初項を$a_1=16$とする数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=2n^2-6n+20$で与えられるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$n\geqq 0$に対して，$a_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　数列$\{b_n\}$を$b_1=a_1\text{，}{b}_2=a_2+a_3\text{，}{b}_3=a_4+a_5+a_6\text{，}{b}_4=a_7+a_8+a_9+a_{10}\text{，}\cdots$と定義する．このとき，$b_n=a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots +a_{k+n}$をみたす$k$を$n$を用いて表せ．

(3)　数列$\{b_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和を$T_n$とするとき，極限値$A=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{T_n}{n^4}}$と極限値$B=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{T_n-{A_n}^4}{n^3}}$の値を求めよ．

(4)　$C={\displaystyle \sum _{n=1}^{24}}(T_n-{A_n}^4-B{n}^3)$の値を求めよ．ただし，$A$と$B$は(3)で求めた極限値である．