2011　高知工科大学　前期

【１】　$a$を実数とする．$2$つの関数$f(x)=x^2-ax+3$と$g(x)=x^2-(2a+1)x+a^2+a$について，次の各問に答えよ．

(1)　すべての実数$x$について，$f(x)\geqq 0$が成り立つための条件を$a$を用いて表せ．

(2)　$1\leqq x\leqq 3$を満たすすべての実数$x$について，$f(x)>0$が成り立つための条件を$a$を用いて表せ．

(3)　$g(x)\leqq 0$を満たすすべての実数$x$について，$f(x)>0$が成り立つための条件を$a$を用いて表せ．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$の頂点を通らない直線$l$が，辺$\mathrm{AC}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$の$\mathrm{B}$方向への延長線，および辺$\mathrm{AB}$と，それぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$で交わり，

$\mathrm{AP}:\mathrm{PC}=\alpha :1\mathrm{CQ}:\mathrm{QB}=\beta :1$

であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$として，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表し，等式${\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PC}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QB}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{BR}}{\mathrm{RA}}}=1$を証明せよ．

(2)　$\mathrm{▵QRB}\text{，}\mathrm{▵BCR}\text{，}\mathrm{▵APR}$の面積比が$1:2:3$のとき，$\mathrm{▵APR}$と$\mathrm{▵CPR}$の面積比を求めよ．

(3)　(2)のとき，直線$\mathrm{CR}$と直線$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{D}$とする．線分の長さの比$\mathrm{AD}:\mathrm{QD}$を求めよ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{2{(\log x)}^2-3\log x}{x}}\text{（}x>0\text{）}$について，次の各問に答えよ．ただし$\log x$は自然対数である．

(1)　方程式$f(x)=0$を解け．

(2)　関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．また，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　次の各問に答えよ．

(1)　$x>0$のとき，不等式$e^x>1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$が成り立つことを証明せよ．

(2)　$\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^{-x}=0$を証明せよ．

(3)　関数$y=x{e}^{-x}$の増減・凹凸を調べ，そのグラフを描け．

(4)　$n$を自然数とする．$I_n={\displaystyle {\int }_0^n}x{e}^{-x}dx$を計算し，$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$を求めよ．