2011　広島市立大学　前期

【１】

問１　$A=\left(\begin{array}{cc}7& -3\\ -3& 1\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{c}2\\ -4\end{array}\right)$とするとき，$A$の逆行列$A^{-1}$と$B$の積$A^{-1}B$を計算せよ．

【１】

問２　次の関数の導関数を求めよ．

$y=x^{1+\frac{1}{x}}\text{（}x>0\text{）}$

【１】

問３　次の積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{x^2+1}{x+1}}dx$

(2)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{dx}{{(x^2+1)}^2}}$

【２】

問１　$3$つのサイコロを同時にふるとき，出る目の最大値と最小値を考える．

(1)　最大値が$3$かつ最小値が$2$となる確率を求めよ．

(2)　最大値と最小値の差が$2$以上となる確率を求めよ．

【２】

問２　$a\text{，}b\text{，}c$は正の数とする．$(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)>0$であるための必要十分条件は，$b+c>a$かつ$c+a>b$かつ$a+b>c$であることを証明せよ．

【３】　平面上の三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$とするとき，以下の問いに答えよ．

問１　線分$\mathrm{AB}$の垂直二等分線を$l$とする．$l$上の点$\mathrm{P}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{p}$とするとき，直線$l$のベクトル方程式は$\overrightarrow{p}\cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})={\displaystyle \frac{1}{2}}({\left|\overrightarrow{b}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2)$で与えられることを示せ．

問２　問１の結果を用いて，三角形$\mathrm{ABC}$の$3$つの辺の垂直二等分線が$1$点$\mathrm{D}$で交わることを示せ．

問３　問２で定まる点$\mathrm{D}$の位置ベクトル$\overrightarrow{d}$が，$\overrightarrow{d}={\displaystyle \frac{4}{7}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{4}{7}}\overrightarrow{b}-{\displaystyle \frac{1}{7}}\overrightarrow{c}$を満たすものとする．

(1)　辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$3$点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{D}$は一直線上にあることを示し，$\mathrm{CM}:\mathrm{MD}$を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の三辺の長さの比$\mathrm{BC}:\mathrm{CA}:\mathrm{AB}$を求めよ．

【４】　関数$f(x)=(x-2)e^{-\frac{x}{3}}$について，以下の問いに答えよ．

問１　$f(x)$の増減，極値，凹凸，変曲点を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．必要であれば$\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^{-x}=0$を用いてよい．

問２　次の連立不等式の表す領域の面積を求めよ．

$x\geqq 0\text{，}y\leqq 0\text{，}y\geqq f(x)$