2011　尾道大学　後期

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$x\text{，}y$を実数とするとき，$9x^2-3xy+y^2-6x-8y+30$の最小値およびそのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　すべての正の実数$x$に対して，関数$f(x)=(2-p)x^2+4x+p+3$が常に正となるような$p$の値の範囲を求めよ．

【２】　$\mathrm{AD}⫽\mathrm{BC}$である台形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=14\text{，}\mathrm{AD}=3$であるとする．また対角線の交点を$\mathrm{O}$としたとき，$\mathrm{▵AOD}$と$\mathrm{▵BOC}$の面積はそれぞれ$9$と$16$であるとする．このとき次の値を求めよ．

(1)　$\mathrm{BC}$の長さ

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の面積

(3)　$\mathrm{AO}$の長さ

(4)　$\sin \mathrm{\angle AOD}$

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-x^2-x+{\displaystyle \frac{8}{3}}$について次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフ上の$x$座標が$1+\sqrt{3}$である点における接線および法線の方程式を求めよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフ上の相異なる$2$点$\mathrm{P}(x_1,f(x_1))$と$\mathrm{Q}(x_2,f(x_2))$における接線が平行であるとき，$x_2$を$x_1$を用いて表せ．

(3)　$y=f(x)$のグラフを$x$軸方向に$a\text{，}y$軸方向に$b$だけ平行移動したグラフが原点に関して対称となる．このとき，$a$と$b$の値および平行移動後のグラフの方程式を求めよ．

(4)　(2)において，点$\mathrm{P}$における法線が点$\mathrm{Q}$を通るような$x_1$の値を求めよ．