2011　和歌山県立医科大学　前期

2011-11641-0101

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易□　並□　難□

【１】　等式 $| x - 2 y | = y + \sqrt{1 - x} + 1$ をみたす整数の組 $(x, y)$ をすべて求めよ．

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易□　並□　難□

【２】　袋の中に $0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9$ の数字を $1$ つずつ書いたカードが $10$ 枚入っている．袋からカード $1$ 枚を無作為に取り出して数字を確認したのち，袋に戻す試行を考える．

(1)　この試行を $2$ 回くり返すとする．確認した数字を順に $X_{1} ， X_{2}$ とおくとき，等式 $X_{1} + X_{2} = X_{1} X_{2}$ が成り立つ確率を求めよ．

(2)　この試行を $3$ 回くり返すとする．確認した数字を順に $X_{1} ， X_{2} ， X_{3}$ とおくとき，等式 $X_{1} + X_{2} + X_{3} = X_{1} X_{2} X_{3}$ が成り立つ確率を求めよ．

(3)　この試行を $4$ 回くり返すとする．確認した数字を順に $X_{1} ， X_{2} ， X_{3} ， X_{4}$ とおくとき，等式 $X_{1} + X_{2} + X_{3} + X_{4} = X_{1} X_{2} X_{3} X_{4}$ が成り立つ確率を求めよ．

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易□　並□　難□

【３】　座標平面において原点を中心とする半径 $1$ の円を $C_{1}$ とし，点 $(1, 0)$ を中心とする半径 $3$ の円を $C_{2}$ とする．動点 $P$ は $C_{1}$ 上を反時計回りに $1$ 秒間に $2$ 回転の速さで等速円運動をし，動点 $Q$ は $C_{2}$ 上を反時計回りに $1$ 秒間に $1$ 回転の速さで等速円運動をしている．時刻 $t = 0$ のとき， $P$ は $(0, 1)$ にあり， $Q$ は $(4, 0)$ にあるものとする． $2$ 点 $P ， Q$ 間の距離の $2$ 乗の最大値と最小値，およびそれらをとる $P ， Q$ の座標を求めよ．

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易□　並□　難□

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　関数 $y = \frac{\sin^{2} x}{x}$ の導関数を求めよ．

(2)　 $n = 1 ， 2 ， 3$ に対して， $a_{n} = \int_{n π}^{(n + 1) π} \frac{| \sin x |}{x} d x$ とおく．連立不等式

$\frac{π}{2} ≦ x ≦ 2 π ， 0 ≦ y ≦ | \frac{\sin x}{x} |$

によって表される領域の部分を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積を， $a_{1} ， a_{2} ， a_{3}$ を用いて表せ．