2011　奈良県立医科大学　前期医学科

【１】　$0$以上の任意の整数$i$に対して，$x$の$i$次式$g_i(x)$を

$i=0$のとき$g_0(x)=1\text{，}i\geqq 1$のとき$g_i(x)={\displaystyle \frac{x(x+1)\cdots (x+i-1)}{i!}}$

と定義する．

(1)　$f(x)={\displaystyle \sum _{i=0}^n}{a}_i{x}^i$（但し$a_n\ne 0$）を$x$に関する実数係数の$n$（$\geqq 0$）次式とする．このとき，等式$f(x)={\displaystyle \sum _{i=0}^n}{c}_i{g}_i(x)$が任意の実数$x$について成り立つような実数$c_i$（$0\leqq i\leqq n\text{，}$但し$c_n\ne 0$）が一意的に存在することを証明せよ．

(2)　(1)において，$n>0$のとき等式$f(x)-f(x-1)={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{c}_i{g}_{i-1}(x)$が成り立つことを証明せよ．

(3)　$F(x)$（$\ne 0$）を$x$に関する実数係数の$n$（$\geqq 0\text{）}$次式とし，任意の整数$a$に対して$F(a)$が整数であると仮定する．このとき，等式$F(x)={\displaystyle \sum _{i=0}^n}{d}_i{g}_i(x)$が任意の実数$x$について成り立つような整数$d_i$（$0\leqq i\leqq n\text{，}$但し$d_n\ne 0$）が一意的に存在することを証明せよ．

【２】　実数の数列${\{a_n\}}_{n=1\text{，}2\text{，}\cdots }$は，任意の正整数$p\text{，}q$に対して不等式

$|a_{p+q}-a_p-a_q|<1$

を満たしているとする．

(1)　任意の正整数$n$と，$2$以上の任意の整数$k$に対して，不等式

$|a_{kn}-k{a}_n|<k-1$

が成り立つことを証明せよ．

(2)　任意の正整数$n\text{，}k$に対して，不等式

$|n{a}_{n+k}-(n+k)a_n|<2n+k-2$

が成り立つことを証明せよ．

【３】　$a\text{，}b$を実数とする．

(1)　定積分

$I(a,b)={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{(1+a\sin x+bx)}^{2}dx$

を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$が実数全体を動くとき，(1)の定積分$I(a,b)$を最小にするような実数の組$(a,b)$がただ一組存在することを示し，そのような$(a,b)$及び$I(a,b)$の最小値を求めよ．

【４】　$xy$平面において原点$\mathrm{O}(0,0)$を中心とする半径$1$の円を$S$とし，円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して，点$\mathrm{P}$における円$S$の接線を$L(\mathrm{P})$とおく．

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

を全ての成分が実数からなる$2$行$2$列の行列とし，$A$によって定まる$xy$平面の一次変換

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

を$\phi$とおく．このとき，円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して円$S$の点$\mathrm{Q}$が存在し，接線$L(\mathrm{P})$のいかなる点も$\phi$によって接線$L(\mathrm{Q})$の点に移されると仮定する．

(1)　円$S$の点$\mathrm{P}$の座標を$(s,t)$として，接線$L(\mathrm{P})$の方程式を求めよ．

(2)　行列$A$は逆行列をもつことを証明せよ．

(3)　円$S$の点$\mathrm{Q}$は円$S$の点$\mathrm{P}$により一意的に定まることを示し，点$\mathrm{Q}$の座標$(u,v)$を点$\mathrm{P}$の座標$(s,t)$及び行列$A$の成分$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を用いて表示せよ．

(4)　$xy$平面の一次変換$\phi$は，原点$\mathrm{O}(0,0)$を中心とする回転か，または原点$\mathrm{O}(0,0)$を通るある直線$l$を対称軸とする対称変換のいずれかであることを証明せよ．