2011　兵庫県立大学　後期

2011-11613-0401

2011　兵庫県立大学　後期

経済学部

(1),(2)で配点率20点

易□　並□　難□

【１】　以下の問に答えなさい．

2011年後期経済学部【２】の図

図１

2011年後期経済学部【２】の図

図２

(1)　　 $1$ 辺の長さ $4$ の正方形を図１のように， $2$ つの合同な台形と $2$ つの合同な三角形に切り分ける．ここで，台形の上底の長さは $1 ，$ 下底の長さは $3 ，$ 高さは $3$ である．これらの台形と三角形を図２のように並べ替えて図の中央に平行四辺形をつくる．以下の問に答えなさい．

(ⅰ)　平行四辺形 $ABCD$ の面積を求めなさい．

(ⅱ)　 $θ = ∠DAB$ とするとき， $\sin θ$ を求めなさい．

2011-11613-0402

2011　兵庫県立大学　後期

経済学部

(1),(2)で配点率20点

易□　並□　難□

【１】　以下の問に答えなさい．

(2)　　 $\frac{x}{35} + \frac{y}{42} = 1$ を満たす整数 $x ， y （ x ≧ 0 ， y ≧ 0 ）$ の組をすべて求めなさい．

2011-11613-0403

2011　兵庫県立大学　後期

経済学部

配点率25点

易□　並□　難□

【２】　正の実数 $x$ と $y$ に対して， $2$ つの関数 $f (x, y)$ と $g (x, y)$ を次のように定義する．ただし， $w$ は $0 < w < 1$ を満たす定数である．

$f (x, y) = w x + (1 - w) y ， g (x, y) = \frac{x y}{w y + (1 - w) x}$

以下の問に答えなさい．

(1)　 $a ， b$ を $2$ つの異なる正の実数とするとき，不等式 $f (a, b) > g (a, b)$ が成り立つことを示しなさい．

(2)　 $0 < a_{1} < b_{1}$ とする．次に， $a_{2} = g (a_{1}, b_{1}) ， b_{2} = f (a_{1}, b_{1}) ， a_{3} = g (a_{2}, b_{2}) ， b_{3} = f (a_{2}, b_{2})$ とおく． $6$ つの数 $a_{1} ， b_{1} ， a_{2} ， b_{2} ， a_{3} ， b_{3}$ を大きい順に並べなさい．

2011-11613-0404

2011　兵庫県立大学　後期

経済学部

配点率25点

易□　並□　難□

【３】　 $f (x)$ は $3$ 次関数とし， $y = f (x)$ のグラフを $C$ とする． $C$ 上の点 $(x, y)$ における接線の傾きは $x = 1$ において最小値 $- 3$ をとる．一方，区間 $- 3 ≦ x ≦ 4$ において，接線の傾きの最大値は $29$ である．さらに， $C$ は原点を通る．このとき，関数 $f (x)$ を表す式を求めなさい．

2011-11613-0405

2011　兵庫県立大学　後期

経済学部

配点率30点

易□　並□　難□

2011年後期経済学部【４】の図

図１　経路 $P$

2011年後期経済学部【４】の図

図２　 $P_{k}$

【４】　 $x y$ 平面において， $x$ 座標も $y$ 座標も整数である点を格子点と呼ぶことにする．原点 $O$ を始点とし，すべての格子点を通る図１に示す経路 $P$ を考える．ロボット $R$ は原点を出発し，経路 $P$ に沿って進み各格子点を通過していく．また，自然数 $k$ に対して，経路 $P$ の一部で格子点 $(k - 1, 0)$ と格子点 $(k, 0)$ の間の部分を $P_{k}$ で表す（図２）．以下の問に答えなさい．

(1)　自然数 $k$ に対して， $P_{k}$ の長さ $d_{k}$ を求めなさい．

(2)　ロボット $R$ が原点を出発し，格子点 $(n, 0)$ に到達した．このとき， $R$ が経路 $P$ に沿って進んだ距離 $S_{n}$ を求めなさい．ただし， $n$ は自然数とする．

(3)　ロボット $R$ が原点を出発し，格子点 $(- 3, 6)$ に到達した．このとき， $R$ が経路 $P$ に沿って進んだ距離を求めなさい．

(4)　ロボット $R$ が原点を出発し，経路 $P$ に沿って $405$ の距離を進んだ．このときのロボット $R$ の位置の座標を求めなさい．