2011　兵庫県立大学　中期

2011-11613-0201

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理学部

易□　並□　難□

【１】　 $3$ 次方程式 $x^{3} - \frac{3}{4} x + a = 0$ は異なる $3$ つの実数解をもつとする．次の問いに答えよ．

(1)　実数 $a$ の値の範囲を求めよ．

(2)　 $3$ つの実数解はいずれも絶対値が $1$ より小さいことを示せ．

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易□　並□　難□

【２】　単位円 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上に $A (1, 0) ， P ， Q ， B (- 1, 0)$ の順に $4$ 点がある．点 $P ， Q$ の $y$ 座標は正とし，

$∠ABP = θ ， ∠PBQ = \frac{π}{6}$

とする．線分 $BP$ の長さを $p ，$ 線分 $AQ$ の長さを $q$ とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $p$ および $q$ を $θ$ を用いて表せ．

(2)　積の最大値およびその時の $θ$ の値を求めよ．

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【３】　曲線 $y = \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$ と $x$ 軸とで囲まれた図形を $S$ とする．次の問いに答えよ．

(1)　 $S$ の面積を求めよ．

(2)　 $S$ を $y$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積を求めよ．

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【４】　次の問いに答えよ．

(1)　 $E$ は $2$ 次の単位行列， $O$ は $2$ 次の零行列とする． $2$ 次正方行列 $P ， Q$ が

(＊)　 $E = P + Q ， P Q = O$

を満たすとき， $P^{2} = P ， Q^{2} = Q ， Q P = O$ が成り立つことを示せ．

(2)　 $A = (\begin{matrix} 4 & 2 \\ - 3 & - 1 \end{matrix})$ が(＊)を満たす行列 $P ， Q$ を使って $A = 2 P + Q$ と表せるとする．このとき， $P ， Q$ を求めよ．

(3)　上の $A$ について $A^{n}$ を上の $P$ と $Q$ で表せ．ただし， $n$ は自然数とする．

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【５】　袋の中に白玉 $1$ 個と黒玉 $2$ 個が入っている．袋の中から玉を $1$ 個取り出して袋の中に戻すことを $n （ n ≧ 2 ）$ 回繰り返す．このとき，白玉が出るのが $2$ 回以上続くことがない確率を $p_{n}$ とする．次の問いに答えよ．

(1)　 $p_{2}$ と $p_{3}$ を求めよ．

(2)　玉を $n$ 回取り出して白玉が $2$ 回以上続くことがなく $n$ 回目が黒玉である確率を $a_{n}$ とし，玉を $n$ 回取り出して白玉が $2$ 回以上続くことがなく $n$ 回目が白玉である確率を $b_{n}$ とする． $a_{n + 1} ， b_{n + 1}$ を $a_{n} ， b_{n}$ の式で表せ．

(3)　 $n ≧ 3$ のとき， $p_{n + 1}$ を $p_{n} ， p_{n - 1}$ の式で表せ．

(4)　不等式 $p_{n} > {(\frac{8}{9})}^{n}$ が成り立つことを示せ．