2011　兵庫県立大学　前期

(1)　点$\mathrm{T}(t,t^2)$における$C$への垂線の方程式を求めなさい．

(2)　点$\mathrm{A}(-12,{\displaystyle \frac{15}{2}})$からひいた$C$への垂線の方程式をすべて求めなさい．

(3)　$xy$平面上の点$\mathrm{B}(p,q)$から$C$への垂線が$3$本ひけるとき，$p\text{，}q$が満たすべき必要十分条件を求めなさい．

(1)　$n=3$のとき，$\mathrm{A}$が優勝する場合の勝敗パターンを試合総数の少ない順にすべて書きなさい．例えば，シリーズ各試合の勝ちチームが順に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{A}$であったとき，この場合の勝敗パターンを$\mathrm{AABA}$で表すことにする．

(2)　$n=3$のとき，$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めなさい．

(3)　$n=4$のとき，$\mathrm{A}$が優勝する場合の勝敗パターンの総数と，$\mathrm{A}$が優勝する確率とを求めなさい．

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

と表すことができる．以下の問に答えなさい．

(1)　平面$\alpha$上にない点$\mathrm{Q}(a,b,c)$に対して，線分$\mathrm{QH}$が平面$\alpha$と垂直になるような$\alpha$上の点$\mathrm{H}$の座標を$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表しなさい．

(2)　四面体$\mathrm{OABD}$の体積が四面体$\mathrm{OABC}$の体積と等しくなるように$z$軸上の点$\mathrm{D}$の座標を求めなさい．

(1)　$2$つの等式$[x]=1\text{，}[y]=1$が表す領域を図示しなさい．

(2)　等式$[y]=[x]$が表す領域を図示しなさい．

(3)　右の図の斜線で示された領域$A$を表す等式を求めなさい．ただし，領域$A$には，斜線部分の境界上の点線で示された部分および白丸で表された点は含まれない．

(1)　$\cos \mathrm{\angle ACB}$の値を求めよ．

(2)　原点$\mathrm{O}(0,0,0)$から三角形$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とするとき，$\cos \mathrm{\angle COH}$の値を求めよ．

(1)　$a$と$b$の値を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(1)　$\sin (\pi \sin x)$の導関数を求めよ．

(2)　$\sin (\pi \sin x)\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$の増減，極値を調べ，グラフの概形をかけ．凹凸は調べる必要はない．

(1)　$10$回硬貨を投げたとき，表と裏がともに$2$回以上出る確率を求めよ．

(2)　表と裏がともに$2$回以上出るまで硬貨を投げつづける試行をおこなう．ちょうど$n$回投げたときに試行が終わる確率を求めよ．ただし$n$は$4$以上の自然数である．

(1)　$x>-1$のとき，$\log (1+x)\leqq x$であることを示せ．

(2)　$m$を自然数として，$p_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}m-1\text{）}$は$p_1=1-{\displaystyle \frac{1}{m}}$と

$p_k=(1-{\displaystyle \frac{k}{m}})p_{k-1}\text{（}k=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}m-1\text{）}$

で定められるものとする．$m=365$のとき，

$\log p_n\leqq {\displaystyle \frac{n(n+1)}{730}}$

であることを示せ．