2011　京都府立医科大学　前期

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，$2$次正方行列$A$の表す$1$次変換を$f$とする．点$(1,0)$を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{Q}=f(\mathrm{P})\text{，}\mathrm{R}=f(\mathrm{Q})$とおくとき

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{0}$

であるとする．

(1)　$f(\mathrm{R})=\mathrm{P}$であることを証明せよ．

(2)　$A^2+A+E=O$であることを証明せよ．ここで$E$は単位行列，$O$は零行列である．

(3)　$\mathrm{PQ}$の長さが$\sqrt{5}$であり$\mathrm{▵PQR}$の面積が${\displaystyle \frac{2}{2}}$であるとき，行列$A$をすべて求めよ．

【２】　$1$辺の長さが$1$の立方体について，以下の問いに答えよ．

(1)　立方体を$1$枚の平面で切断したときの切り口が三角形であるとき，その三角形は鋭角三角形であることを証明せよ．

(2)　どのような鋭角三角形$T$に対しても，立方体を$1$枚の平面で切断したときの切り口が$T$と相似になるような切り方が存在することを証明せよ．

(3)　立方体を$3$枚の平面で切断し，いくつかの立体に切り分けることを考える．このような切り方の中で，正五角形の面をもつ立体を作る方法を説明せよ．

【３】　$a$を正の実数とする．座標平面において，曲線$C_1\text{：}y=\sqrt{a(x+2)}\text{（}x\geqq -2\text{）}$と曲線$C_2\text{：}y=\sqrt{x^2+2x}\text{（}x\geqq 0\text{）}$を考える．曲線$C_1$と曲線$C_2$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_1(a)$とし，曲線$C_1$と曲線$C_2$および直線$x=2a$で囲まれた部分の面積を$S_2(a)$とする．

(1)　${\displaystyle {\int }_{-2}^{2a}}\sqrt{a(x+2)}dx$を求めよ．

(2)　$f(a)=S_1(a)-S_2(a)$とおく．関数$f(a)$が極値をとるような$a$の値を求めよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^{2a}}\sqrt{x^2+2x}dx>2a^2$であることを証明せよ．

(4)　$S_1(a)=S_2(a)$となるような$a$が存在することを証明せよ．

【４】　$n$を$5$以上の整数とする．平面上に点$\mathrm{O}$をとる．$\mathrm{O}$を通る直線上に${\mathrm{OA}}_0=1$となる点${\mathrm{A}}_0$を一つとる．点$\mathrm{O}$を中心として直線${\mathrm{OA}}_0$を正の向きに角${\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$だけ回転した直線上に${\mathrm{OA}}_1\perp {\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_1$となる点${\mathrm{A}}_1$をとる．次に，点$\mathrm{O}$を中心として直線${\mathrm{OA}}_1$を正の向きに角${\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$だけ回転した直線上に${\mathrm{OA}}_2\perp {\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2$となる点${\mathrm{A}}_2$をとる．以下同様にして$k=3\text{，}4\text{，}\cdots \text{，}n$について，点$\mathrm{O}$を中心として直線${\mathrm{OA}}_{k-1}$を正の向きに角${\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$だけ回転した直線上に${\mathrm{OA}}_k\perp {\mathrm{A}}_{k-1}{\mathrm{A}}_k$となる点${\mathrm{A}}_k$をとる．特に，点${\mathrm{A}}_n$は線分${\mathrm{OA}}_0$上の点となる．

(1)　不等式$1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\leqq \cos x$を証明せよ．

(2)　線分${\mathrm{OA}}_n$の長さを$r_n$とする．極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{r}_n$を求めよ．

(3)　線分${\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_{n-1}{\mathrm{A}}_n$の長さの和を$L_n$とする．極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{L}_n$を求めよ．