2011　京都府立大学　前期

【１】　$t>0$とする．平面上に$\mathrm{▵OAB}$と点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$は$(2-t)\overrightarrow{\mathrm{PO}}+2(1-t)\overrightarrow{\mathrm{PA}}+3t\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{0}$を満たす．直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=a\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=b$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|}}$を$t$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{OC}$が$\mathrm{\angle AOB}$の$2$等分線となるとき，$\mathrm{C}$は辺$\mathrm{AB}$を$a:b$に内分する点であることを示せ．

(3)　(2)のとき，$\mathrm{▵OAB}$の面積を$S_1\text{，}\mathrm{▵PAB}$の面積を$S_2$とする．${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

【２】　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を漸化式

$a_1=3\text{，}2a_{n+1}=a_n+1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

$b_1=1\text{，}{b}_2=1\text{，}2b_{n+2}=-b_{n+1}+b_n+1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．以下の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　漸化式$c_n=b_{n+1}+b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$によって定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}(a_{2k}-1)b_{2k}$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【３】　$n$を$5$以上の整数とする．座標平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$n$の円$C_1$と，点$\mathrm{A}$を中心とする半径$1$の円$C_2$がある．$C_2$が$C_1$に外接しながらすべることなく反時計回りに転がるとき，$C_2$上の点$\mathrm{P}$が描く曲線を考える．はじめに$\mathrm{A}$は$(n+1,0)\text{，}\mathrm{P}$は$(n,0)$の位置にあるものとする．$\mathrm{P}$が$(n,0)$から出発し，再び$(n,0)$に戻るまで，$\mathrm{P}$が描く曲線を$C$とする．線分$\mathrm{OA}$と$x$軸の正の部分のなす角が$\theta \text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$であるときの$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta ),y(\theta ))$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$x(\theta )\text{，}y(\theta )$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　区間$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$で$x(\theta )$の増減を調べよ．

(3)　$C$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　座標平面上の楕円$C_1\text{：}4x^2+y^2=4$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$C_1$を$x$軸方向に$p\text{，}y$軸方向に$1$だけ平行移動した楕円を$C_2$とする．$1\leqq k\leqq 2$を満たすすべての$k$に対して，直線$l\text{：}y=kx-3$と$C_2$が$2$個の共有点をもつとき，$p$の値の範囲を求めよ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}e$を定数とする．$C_1$を原点まわりに$75\mathrm{°}$回転した$2$次曲線を$C_3\text{：}{x}^2+axy+b{y}^2+cx+dy+e=0$とするとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

【１】　$\mathrm{▵ABC}$の$3$つの角$\mathrm{\angle A}\text{，}\mathrm{\angle B}\text{，}\mathrm{\angle C}$のそれぞれの大きさを$A\text{，}B\text{，}C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\cos A+\cos B=2\cos {\displaystyle \frac{A+B}{2}}\cos {\displaystyle \frac{A-B}{2}}$を余弦の加法定理から導け．

(2)　(1)の結果を用いて$\cos A+\cos B\leqq 2\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}$を示せ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．

(3)　(2)の結果を用いて$\cos A+\cos B+\cos C$が最大となるとき，$A\text{，}B\text{，}C$を求めよ．

【２】　$\mathrm{▵OAB}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$で表される点$\mathrm{P}$を考える．点$\mathrm{C}$は辺$\mathrm{OB}$を$3:1$に外分する点とする．以下の問いに答えよ．

(1)　実数$s\text{，}t$が$0\leqq s\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$の条件を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の存在範囲を求めよ．

(2)　実数$s\text{，}t$が$3s+2t=3\text{，}s\geqq 0\text{，}t\geqq 0$の条件を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の存在範囲を求めよ．

(3)　実数$s\text{，}t$が$s+2t=2\text{，}3t+2t=3\text{，}s\geqq 0\text{，}t\geqq 0$の条件を満たすとき，${\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{CP}}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|}}$を求めよ．

(4)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=4\text{，}\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=3\text{，}\mathrm{\angle AOB}=60\mathrm{°}$とする．$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$の垂直二等分線上にあるとき，$s\text{，}t$の関係式を求めよ．

【３】　曲線$y=x^3-2x^2-x+2$を$C$とする．$f(x)=x^3-2x^2-x+2$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$y$軸上の点$\mathrm{P}(0,a)$から$C$に接線がちょうど$3$本引けた．このとき$a$がとり得る値の範囲を求めよ．ただし，$C$と$1$本の直線が$2$点以上で接することはないことを，説明なく用いてよい．

(2)　点$\mathrm{P}(0,a)$から曲線$C$に引いた接線上の接点を点$\mathrm{Q}(s,f(s))$とする．$a$が(1)で求めた範囲の値をとるとき，$s$がとり得る値の範囲を求めよ．