2011　滋賀県立大学　後期

【１】(1)　次の関数を微分せよ．

$y=\sqrt{{\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2+1}}}$

【１】(2)　次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ．

$f(x)=\log (x+1)-x{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)dt$

【１】(3)　$(1+p)(1+q)=2pq$を満たす自然数$p$と$q$をすべて求めよ．

【２】　$f(x)=4{\cos }^{2}2x-2\sqrt{2}\cos 2x+4{\cos }^{2}x-\sqrt{2}-2$とおく．

(1)　$0\leqq x\leqq \pi$のとき，不等式$f(x)<0$を解け．

(2)　区間$[0,\pi ]$における$f(x)$の最大値を求めよ．

【３】　$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円を$C$とする．$C$が$x$軸の正の部分と交わる点を$\mathrm{P}$とする．また，放物線$y=x^2$が$C$と交わる点のうち，第$1$象限にある点を$\mathrm{Q}\text{，}$第$2$象限にある点を$\mathrm{R}$とする．さらに，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$を通る直線$l$が$y$軸と交わる点を$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{P}$と$\mathrm{R}$を通る直線$m$が$y$軸と交わる点を$\mathrm{M}$とする．

(1)　$\mathrm{\angle POQ}=\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とするとき，$l$および$m$の方程式を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$r$を$0$に近づけるとき，$\mathrm{L}$および$\mathrm{M}$が近づいていくそれぞれの点の座標を求めよ．

【４】　$3$次関数$f(x)$は，$x=-p\text{（}p>0\text{）}$で極大値$2p^3\text{，}x=p$で極小値$-2p^3$をとる．また，$f(0)=0$とする．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　直線$y={\displaystyle \frac{x}{p}}$と曲線$y=f(x)$で囲まれる部分の面積を$S$とするとき，$p$を用いて$S$を表せ．

(3)　$S$の最小値を求めよ．