2011　滋賀県立大学　前期

【１】　放物線$C_1\text{：}y=x^2-4x+a$と曲線$C_2\text{：}y=6\log x$とが点$\mathrm{P}$で接している．ただし，$a$は実数とする．

(1)　$a$の値，および$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$における$C_1\text{，}{C}_2$の接線を$l$とする．このとき，$l\text{，}x$軸，および$C_2$で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

【２】　$x$軸とのなす角が$2\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$で原点$\mathrm{O}$を通る直線$l$と，$x$軸上の定点$\mathrm{A}(a,0)\text{（}a>0\text{）}$と$y$軸上の定点$\mathrm{B}(0,b)\text{（}b>0\text{）}$がある．円$C_1\text{，}$円$C_2$は$l$と接し，かつ$C_1$は$x$軸と$\mathrm{A}$で接し，$C_2$は$y$軸と$\mathrm{B}$で接するものとする．$C_1\text{，}{C}_2$の中心をそれぞれ${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$とする．ただし，${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$は第$1$象限の点である．

(1)　${\mathrm{▵OP}}_1{\mathrm{P}}_2$の面積は

$S={\displaystyle \frac{ab}{\sin 2\theta +\cos 2\theta +1}}$

であることを示せ．

(2)　$\theta$を変数としたとき，$S$の最小値を求めよ．

【３】　$xy$平面上の原点$\mathrm{O}\text{，}$定点$\mathrm{A}(a,0)\text{（}a>0\text{），}$定点$\mathrm{B}(0,b)\text{（}b>0\text{）}$を頂点とする直角三角形$\mathrm{OAB}$がある．直角三角形$\mathrm{OAB}$内の点$\mathrm{M}(p,q)$から辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{AB}$に引いた垂線と各辺との交点をそれぞれ$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}$とする．

(1)　$L=\mathrm{ME}\cdot \mathrm{MF}\cdot \mathrm{MG}$とおいたとき，$L$を$a\text{，}b\text{，}p\text{，}q$で表せ．

(2)　$L$において，$q$を固定し，$p$を変数としたとき，$L$の最大値$L_1$を$a\text{，}b\text{，}q$で表せ．

(3)　$L_1$において，$q$を変数としたとき，$L_1$の最大値$L_2$を$a\text{，}b$で表せ．

【４】(1)　$n$を$2$以上の自然数とするとき，不等式

${\displaystyle {\int }_1^n}\log xdx<\log 1+\log 2+\cdots +\log n$

が成り立つことを示せ．

(2)　$a$を正の実数とするとき，上の不等式を用いて$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a^n}{n!}}=0$を示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{(2+{\displaystyle \frac{n}{n+1}})}^n}{n!}}$を求めよ．