2011　静岡文化芸術大学　前期

【１】　関数$y=a^{2x}+a^{-2x}-(a^x+a^{-x})+9\text{（}a>0\text{，}a\ne 1\text{）}$について，

(1)　$a^x+a^{-x}=t$とおくとき，$y$を$t$を用いて表せ．

(2)　$y$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

【２】　関数$y=2{\cos }^2\theta -3\sin \theta \cos \theta +5{\sin }^2\theta$について，$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$y$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

【３】　放物線$C\text{：}y=x^2+2kx+5$と直線$l\text{：}y=kx-k+2$が異なる$2$つの共有点をもつような，定数$k$の値の範囲を求めよ．

【４】　$3$次方程式$x^3-2x^2+x+a=0$が異なる$3$個の実数解をもつような，定数$a$の値の範囲を求めよ．また，そのとき，実数解のうちの最小のものを$m$として，$m$のとりうる値の範囲を求めよ．

【５】　円$C\text{：}{(x+2)}^2+y^2=3$と直線$l\text{：}y=kx$（$k$は実数の定数）がある．

(1)　円$C$と直線$l$が異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$で交わるとき，$k$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　(1)のとき，線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{P}$が描く軌跡を求めよ．

【６】　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$3:1$の比に内分する点を$\mathrm{F}$とし，$\mathrm{AC}$と$\mathrm{DE}$との交点を$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{AF}$と$\mathrm{BD}$との交点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AN}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AM}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{MN}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right|=2\text{，}$$\mathrm{\angle BAD}=60\mathrm{°}$とするとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{MN}}\right|$の値を求めよ．

【７】　次の確率を求めよ．ただし，サイコロを投げるとき，$1$から$6$のどの目が出ることも同様に確からしいものとする．

(1)　$1$個のサイコロを$2$回投げるとき，出る目の最大値が$4$になる確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$さんが$1$個のサイコロを$2$回投げるときの出る目の合計の値と，$\mathrm{B}$さんが$1$個のさいころを$2$回投げるときの出る目の最大値が同じになる確率を求めよ．

図

【８】　同じ大きさの立方体を積み重ねて正四角錐状の立体形状を作る．図はこの立体形状を真上から眺めたものである（図では，上から$3$段目までを示しており，$4$段目以降は省略されている）．この立体形状の上から$n$段目には$n^2$個の立方体が並べられている．この立体形状を真上から眺めたときに，見えている立方体に対して図に示すように，上の立方体から順に自然数の番号をつける．すなわち，最も上にある立方体の番号は$1$で，その$1$つ下の段である$2$段目の立方体には，図の左下から反時計回りに番号をつけていく．$3$段目以降も同様に番号をつける．

(1)　上から$n$段目に位置する，番号のつけられた立方体の個数を$n$を用いて表せ．

(2)　上から$n$段目の立方体のうち，図の向きで見たときに左下に位置する立方体の番号を$n$を用いて表せ．ただし，$n\geqq 2$とする．