2011　福井県立大学　後期

【１】　原点$\mathrm{O}$を中心とし，半径$1$の球面$S$に内接する正四面体の頂点を，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角$\theta$を求めたい．次の文章の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ノ}}$にあてはまる数値，または，式，または，語句を答えよ．

　$\mathrm{ABCD}$が正四面体であることから，

$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\boxed{\text{ア}}=\boxed{\text{イ}}=\boxed{\text{ウ}}=\boxed{\text{エ}}=\boxed{\text{オ}}\ne 0\cdots$(1)

でなくてはならない．また，この正四面体が球面$S$に内接することから，

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\boxed{\text{カ}}=\boxed{\text{キ}}=\boxed{\text{ク}}=1\cdots$(2)

でなくてはならない．式(1)と式(2)から，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$の互いの内積には，

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\boxed{\text{ケ}}=\boxed{\text{コ}}=\boxed{\text{サ}}=\boxed{\text{シ}}=\boxed{\text{ス}}\cdots$(3)

という関係が成り立つ．式(3)の値を$p$とおく．いま，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は$\overrightarrow{0}$でなく，同一平面上にないベクトルであるから，空間のベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$は，ある実数$k\text{，}l\text{，}m$を用いて，ただ一通りに，

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=k\overrightarrow{\mathrm{OA}}+l\overrightarrow{\mathrm{OB}}+m\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdots$(4)

と表すことができる．ところが，この正四面体の場合は，頂点の文字$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を任意に置き換えても，もとの正四面体と同じ状況であるため，$k\text{，}l\text{，}m$は，相異なる数になりえない．すなわち，

$k=l=m\cdots$(5)

である．よって，

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=k\overrightarrow{\mathrm{OA}}+k\overrightarrow{\mathrm{OB}}+k\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdots$(6)

としてよい．式(6)の両辺と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$との内積を作ると，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$は，$k$と$p$の式として，

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\boxed{\text{セ}}\cdots$(7)

と表せる．一方，式(7)の左辺の値は，もともと，$\boxed{\text{ソ}}$とおいたのだから，結局，$k$は，$p$の式として，

$k=\boxed{\text{タ}}\cdots$(8)

と表せることがわかる．式(8)を用いると，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}$は$p$の式として，

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\boxed{\text{チ}}\cdots$(9)

と表せる．式(9)の左辺の値は，$\boxed{\text{ツ}}$であるから，式を整理すると，$p$の$2$次方程式

$\boxed{\text{テ}}=0\cdots$(10)

が得られる．方程式(10)の$2$つの解のうち，$p=\boxed{\text{ト}}$の場合は，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$が，$\boxed{\text{ナ}}$になってしまうから，適さない．したがって，

$p=\boxed{\text{ニ}}\cdots$(11)

だけが解になりうる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=p$であったから，$\cos \theta$の値は，

$\cos \theta =\boxed{\text{ヌ}}\cdots$(12)

となる．この値は，三角関数$\cos \theta$の値域

$|\cos \theta |\leqq \boxed{\text{ネ}}\cdots$(13)

の中にある．式(12)を満たすような$\theta$は無数にあるが，いまは，$2$つのベクトルのなす角を表すことが目的なので，

$0\leqq \theta \leqq \boxed{\text{ノ}}\cdots$(14)

の範囲に限ることにすれば，$\theta$はただ一つに定まる．三角関数表によると，その値はおよそ$1.91$ラジアン（およそ$109.5\mathrm{°}$）である．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を有理数，$x$を無理数とするとき，

「$a+bx=c+dx$ならば，$a=c$かつ$b=d$」

が成り立つことを証明せよ．

【３】　$f(x)=|(x-3)(x+2)|+x+2$とする．次の問１〜問３に答えよ．

問１　関数$y=f(x)$のグラフを描け．

問２　$y=f(x)$の$x=0$における接線と平行で，点$(-2,0)$を通る直線の式を求めよ．

問３　問２で求めた直線と，$y=f(x)$のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　ある方法で投資すると，成功したときは資金が$8\mathrm{\%}$増加し，失敗したときは資金が$4\mathrm{\%}$減少するという．いま，はじめの資金を$1$とし，このような投資を$n$回繰り返すことにする．ただし，投資が成功する確率$p$は各回とも同一とし，各回の投資は独立な試行とする．次の問１〜問３に答えよ．

問１　$n$回投資して，$k$回成功したときの資金を表す式を書け．

問２　$p={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，$2$回投資したときの資金の期待値を求めよ．

問３　$n$回投資して，最初の$1$回だけ成功し，その後すべて失敗したとする．はじめて資金が${\displaystyle \frac{1}{2}}$以下になったときの$n$の値を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.301\text{，}{\log }_{10}3=0.477$とする．