2011　富山県立大学　推薦工学部

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$(1+\sqrt{5}-\sqrt{6})(1+\sqrt{5}+\sqrt{6})$を計算せよ．

(2)　${\displaystyle \frac{10}{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}}$の分母を有理化せよ．

(3)　${\displaystyle \frac{10}{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}}$の整数部分を求めよ．

【２】　$n$は整数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$n(n+1)$が偶数であることを示せ．

(2)　$n(n+1)(2n+1)$が$6$の倍数であることを示せ．

(3)　$n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)$が$30$の倍数であることを示せ．

【３】　$a$は定数で$0<a<1$とする．曲線$C\text{：}y=1-x^2\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$について，$C$上の点$\mathrm{P}(a,1-a^2)$における接線を$l$としたとき，次の問いに答えよ．

(1)　接線$l$が$x$軸および$y$軸と交わる点を，それぞれ$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の座標を$a$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{▵OAP}$の面積を$S_1(a)\text{，}\mathrm{▵OBP}$の面積を$S_2(a)$とする．$S_1(a)=S_2(a)$となる$a$を$a_0$としたとき，$a_0$の値を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．

(3)　$x$軸，線分$\mathrm{OP}$および$C$で囲まれた部分の面積を$S_3(a)\text{，}y$軸，線分$\mathrm{OP}$および$C$で囲まれた部分の面積を$S_4(a)$とする．$S_3(a)$および$S_4(a)$を求めよ．また，不等式$S_3(a_0)>S_4(a_0)$が成り立つことを示せ．

【４】　$\mathrm{▵OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．$\left|\overrightarrow{a}\right|=1\text{，}$$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}\text{，}$$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=2$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$および$\left|\overrightarrow{b}\right|$の値を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵OAB}$の面積$S$を求めよ．

(3)　点$\mathrm{O}$から線分$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろすとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right|$の値を求めよ．