2011　富山県立大学　前期工学部

【１】　$a$と$b$は定数とする．$2$つの関数$f(x)=x^2-2ax+a^2+b\text{，}g(x)=2\left|x\right|$について，次の問いに答えよ．

(1)　$b=0$のとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点の個数が$4$個となるように，$a$の値の範囲を定めよ．

(2)　$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点の個数が$1$個のとき，$a$と$b$が満たす条件を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$と辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{D}$と$\mathrm{F}$とする．また，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CO}$を${\displaystyle \frac{t}{3}}:(1-{\displaystyle \frac{t}{3}})$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{E}$と$\mathrm{G}$とする．ただし，$0<t<1$である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$としたとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}t$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OE}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OF}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を表せ．

(2)　$t={\displaystyle \frac{3}{4}}$のとき，$4$点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}$が同一平面上に存在することを示せ．

(3)　(2)のとき，線分$\mathrm{DF}$と線分$\mathrm{EG}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を表せ．

【３】　$2$つの曲線$C_1\text{：}y=x\log x\text{，}{C}_2\text{：}y=2x\log x$について，次の問いに答えよ．ただし，$x>0$である．

(1)　$C_1$と$C_2$に共通する接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$C_1\text{，}{C}_2$および$l$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$n$は$0$または正の整数とする．${}_{n}C_0+3\cdot {}_{n}C_1+3^2\cdot {}_{n}C_2+\cdots +3^n\cdot {}_{n}C_n=4^n$を示せ．

【４】　次の問いに答えよ．

(2)　$3$次方程式$x^3-x^2+2x-1=0$の実数解は無理数であることを，背理法を用いて示せ．