2011　横浜市立大　前期医学科

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(1)　関数

$f(x)=x{\sin }^{2}x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

の最大値を与える$x$を$\alpha$とするとき，$f(\alpha )$を$\alpha$の分数式で表すと$\boxed{\text{(1)}}$となる．

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(2)　多項式

$a^4+b^4+c^4-2a^2{b}^2-2a^2{c}^2-2b^2{c}^2$

を因数分解すると$\boxed{\text{(2)}}$となる．

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(3)　$N$を与えられた自然数とし，$f(x)$および$g(x)$を区間$(-\infty ,\infty )$で$N$回以上微分可能な関数とする．$f(x)$と$g(x)$から定まる関数を次のように定義する．$t$を与えられた実数として，

$\begin{array}{ll}(f{\ast }_{t}g)(x)& ={\displaystyle \sum _{k=0}^N}{\displaystyle \frac{t^k}{2^{k}k!}}{f}^{(k)}(x)g^{(k)}(x)\\ & =f(x)g(x)+{\displaystyle \frac{t}{2}}{f}^{\prime }(x)g^{\prime }(x)+\cdots +{\displaystyle \frac{t^N}{2^{N}N!}}{f}^{(N)}(x)g^{(N)}(x)\end{array}$

とおく．ここに，$f^{(k)}(x)$は$f(x)$の第$k$次導関数である（$g^{(k)}(x)$も同様である）．

　$a$を実数，$n$を$N$以下の自然数とする．$f(x)=e^{2ax}\text{，}g(x)=x^n$にたいし，二項定理を用いて$(f{\ast }_{t}g)(x)$を計算すると$\boxed{\text{(3)}}$となる．

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(4)　関係式

$f(x)+{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)e^{x-t}dt=\sin x$

をみたす微分可能な関数$f(x)$を考える．$f(x)$の導関数$f^{\prime }()$を求めると，$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{(4)}}$となる．$f(0)=\boxed{\text{(5)}}$であるから$f(x)=\boxed{\text{(6)}}$となる．

【２】　行列$A$と$E$を

$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2}{3}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

とする．以下の問いに答えよ．

(1)　行列

${(E-A)}^{-1}$

を求めよ．

(2)　零ベクトルでないベクトル$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$に対して

$\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

とおくとき，

$\sqrt{X^2+Y^2}=r\sqrt{x^2+y^2}$

をみたす$r$を求めよ．

(3)　ベクトル$\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)$が与えられたとき，ベクトル$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)$を次のように定める．

$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{x}_{n-1}\\ y_{n-1}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$．

このとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$

を求めよ．

【３】　平面上の点$\mathrm{A}$を中心とする半径$a$の円から，中心角が$60°$で$\mathrm{AP}=\mathrm{AQ}=a$となる扇形$\mathrm{APQ}$を切り取る．つぎに線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{AQ}$を貼り合わせて，$\mathrm{A}$を頂点とする直円錐$K$を作り，これを点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間におく．

　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}$はそれぞれ$z$軸，$x$軸上の正の位置にとり，扇形$\mathrm{APQ}$の弧$\mathrm{PQ}$は$xy$平面上の$\mathrm{O}$を中心とする円$S$になるようにする．

　また弦$\mathrm{PQ}$から定まる$K$の側面上の曲線を$C$とする．

　以下の問いに答えよ．

(1)　$S$の半径を$b$とする．$S$上の点$\mathrm{R}(b\cos \theta ,b\sin \theta ,0)\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$に対し，$K$上の母線$\mathrm{AR}$と$C$の交点を$\mathrm{M}$とする．$b$と線分$\mathrm{AM}$の長さを$a$と$\theta$を用いて表せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$xy$平面に正射影したベクトルの長さを$r$とする．$r$を$a$と$\theta$を用いて表し，定積分

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}{\displaystyle \frac{1}{2}}{\{r(\theta )\}}^{2}d\theta$

を求めよ．ただし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=(a_1,a_2,a_3)$を$xy$平面に正射影したベクトルとは$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{E}}^{\prime }}=(a_1,a_2,0)$のことである．