2011　前橋工科大学　前期

【１】　$1$以上$n$以下の自然数の中から異なる$3$個を選び，その中の最大数から最小数を引いた値を考える．すべての選び方について，その値を合計したものを$s_n$とする．次の問いに答えなさい．ただし，$n\geqq 3$とする．

(1)　$s_3\text{，}{s}_4\text{，}{s}_5$を求めなさい．

(2)　$s_{k+1}-s_k\text{（}k\geqq 3\text{）}$を$k$を用いて表しなさい．

(3)　$s_n$を$n$を用いて表しなさい．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする空間内の$2$点$\mathrm{A}(0,-1,5)\text{，}\mathrm{B}(5,4,0)$を通る直線を$l$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{O}$から直線$l$に下ろした垂線と直線$l$との交点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

(2)　線分$\mathrm{AB}$を$3:2$に内分する点を通り，$yz$平面に平行な平面$\alpha$の方程式を求めなさい．

(3)　平面$\alpha$上の点$\mathrm{Q}$で，$\mathrm{▵OPQ}$を正三角形とするような$\mathrm{Q}$の座標を求めなさい．

【３】　曲線$C_1\text{：}y={\displaystyle \frac{4x}{{(x^2+1)}^2}}$と曲線$C_2\text{：}y={\displaystyle \frac{3}{4x}}$がある．次の問いに答えなさい．

(1)　曲線$C_1$の概形をかきなさい．ただし，凹凸は調べなくてよい．

(2)　$x>0$の範囲で，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めなさい．

【４】　次の問いに答えなさい．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }\{t\sin (t-{\displaystyle \frac{k-1}{2}}\pi )+(k-1)\cos (t-{\displaystyle \frac{k-1}{2}}\pi \left)\right\}dt$を求めなさい．ただし，$k$は定数とする．

(2)　$0$以上の整数$n$に対して，関数$f_n(x)$を次のように定める．

$f_0(x)=x\sin x\text{，}$$f_n(x)=\{\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^x}{f}_{n-1}(t)dt\text{，}\\ n=2m-1\text{（}m\text{は自然数）のとき，}\\ {\displaystyle {\int }_0^x}{f}_{n-1}(t)dt+{(-1)}^{m}2m\text{，}\\ n=2m\text{（}m\text{は自然数）のとき．}\end{array}$

このとき，$f_n(x)=x\sin (x-{\displaystyle \frac{n}{2}}\pi )+n\cos (x-{\displaystyle \frac{n}{2}}\pi )$であることを示しなさい．