2011　高崎経済大学　中期

【１】　$2$点$\mathrm{A}(0,3)\text{，}\mathrm{B}(0,1)$と円${(x-2)}^2+{(y-2)}^2=1$が与えられている．点$\mathrm{P}$がこの円周上を動くとき，$\mathrm{▵ABP}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡を求めよ．

【２】　初項が$4\text{，}$公比が${\displaystyle \frac{2}{3}}$の等比数列の第$n$項を$a_n\text{，}$初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，以下の問に答えよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

(1)　$a_n$と$S_n$を求めよ．

(2)　${10}^{-5}<a_n<{10}^{-3}$を満たす$n$の値の範囲を求めよ．

【３】　以下の問に答えよ．

(1)　次の関数の増減を調べ，グラフをかけ．

$y=-x^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+6x+1$

(2)　$3$次方程式$-x^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+6x+1-a=0$が異なる$3$個の実数解をもつとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．

【４】　$\mathrm{AB}=\mathrm{CA}=1\text{，}A=30\mathrm{°}$となる二等辺三角形$\mathrm{ABC}$について，以下の問に答えよ．

(1)　$\sin C$を求めよ．

(2)　$\mathrm{BC}={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}+b\sqrt{6}}{2}}$を満たす整数$a\text{，}b$を求めよ．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$の内接円の半径を$r$とするとき，$r={\displaystyle \frac{p\sqrt{2}+q\sqrt{3}+s\sqrt{6}+t}{4}}$を満たす整数$p\text{，}q\text{，}s\text{，}t$を求めよ．

【５】　白玉$2$個，赤玉$4$個が入っている袋がある．この袋から玉を$1$個取り出し，色を調べてからもとに戻すことを$6$回続けて行うとき，次の確率を求めよ．

(1)　白玉がちょうど$4$回出る確率

(2)　白玉が少なくとも$4$回出る確率

(3)　白玉が続けて$5$回以上出る確率