2011　高崎経済大学　前期

【１】　以下の各問に答えよ．なお，解答欄には答えのみ示せ．

(1)　次の方程式を解け．

$|x+3|=2x$

【１】　以下の各問に答えよ．なお，解答欄には答えのみ示せ．

(2)　$a$を素数とする．$2$次方程式$x^2-ax+66=0$の$2$つの解のうち，ただ$1$つのみが素数であるとき，$a$の値を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．なお，解答欄には答えのみ示せ．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$において，$A=60\mathrm{°}\text{，}$外接円の半径$R$が$7$のとき，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．なお，解答欄には答えのみ示せ．

(4)　${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．${12}^{20}$は何桁の整数か．

【１】　以下の各問に答えよ．なお，解答欄には答えのみ示せ．

(5)　$15$本のくじの中に当たりくじが$3$本ある．この中から$2$本のくじを同時に引くとき，少なくとも$1$本が当たる確率を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．なお，解答欄には答えのみ示せ．

(6)　次の$3$点が同一直線上にあるように，$m\text{，}n$の値を定めよ．

$\mathrm{A}(2,-1,-2)\text{，}\mathrm{B}(4,2,5)\text{，}\mathrm{C}(m,-4,n)$

【１】　以下の各問に答えよ．なお，解答欄には答えのみ示せ．

(7)　次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_{-2}^2}|x-1|(x-1)dx$

【１】　以下の各問に答えよ．なお，解答欄には答えのみ示せ．

(8)　四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=5\text{，}\mathrm{BC}=3\text{，}\mathrm{CD}=7\text{，}B=120\mathrm{°}\text{，}D=60\mathrm{°}$とするとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$が$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}-2a_n+a_n{a}_{n+1}=0$を満たしている．以下の問に答えよ．

(1)　すべての自然数$n$について$a_n>0$であることを示せ．

(2)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$とするとき，$b_n$と$b_{n+1}$の関係を式で表せ．

(3)　一般項$a_n$を求めよ．

【３】　放物線$y=-{(x-2)}^2+1$上に点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とし，${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　放物線上の点$\mathrm{P}$における接線の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$から$y$軸に下ろした垂線の足を点$\mathrm{Q}$とする．また，(1)で求めた接線と$y$軸の交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{▵PQR}$の面積$S$を$a$で表せ．

補足説明：「点$\mathrm{P}$から$y$軸に下ろした垂線の足」とは，点$\mathrm{P}$から$y$軸に下ろした垂線と$y$軸との交点のことである．

(3)　(2)で求めた面積$S$が最大になるときの$a$の値とその面積を求めよ．