2011　宮城大学　前期

【１】　次の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ケ}}$にあてはまる数や式を，解答欄に書きなさい．

(1)　自然数$n$に対し$n!$で$n$の階乗$1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)\cdot n$を表し，$2$を底とする対数関数を${\log }_2(x)$とする．このとき，

${\log }_2(1!)-{\log }_2(2!)+{\log }_2(3!)-{\log }_2(4!)=\boxed{\text{ア}}$

となる．

【１】　次の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ケ}}$にあてはまる数や式を，解答欄に書きなさい．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}\text{，}\angle \mathrm{B}\text{，}\angle \mathrm{C}$の大きさを$A\text{，}B\text{，}C\text{，}$辺$\mathrm{BC}$の長さを$a\text{，}$辺$\mathrm{CA}$の長さを$b\text{，}$辺$\mathrm{AB}$の長さを$c\text{，}$三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とおく．

　$S$を$b\text{，}c$と$A$を使って表すと，

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}bc\boxed{\text{イ}}$

となる．また，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}A\text{，}B\text{，}C$の間には

$b=a{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\sin A}}\text{，}c=a{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\sin A}}$

という関係がある．よって$S$を$a\text{，}A\text{，}B\text{，}C$で表すと，

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2\boxed{\text{オ}}$

となる．

　とくに，$B=30\mathrm{°}\text{，}C=45\mathrm{°}\text{，}a=1$のときには，

$\sin B=\boxed{\text{カ}}\text{，}\sin C=\boxed{\text{キ}}\text{，}$

また，

$\sin A=\boxed{\text{ク}}$

だから，

$S={\displaystyle \frac{-1+\boxed{\text{ケ}}}{4}}$

となる．

【２】　次の空欄$\boxed{\text{サ}}$から$\boxed{\text{ト}}$にあてはまる数や式を，解答欄に書きなさい．

　$x‐y$平面上の$3$点$\mathrm{P}(-1,0)\text{，}\mathrm{Q}(0,1)\text{，}\mathrm{R}(2,0)$を通る$2$次曲線$C$を考える．$C$が方程式

$y=a{x}^2+bx+c$（$a\text{，}b\text{，}c$は定数）

で与えられるとすると，$C$は点$\mathrm{Q}$を通るから$c=\boxed{\text{サ}}$である．また$C$は点$\mathrm{P}$を通るから$\boxed{\text{シ}}=0$であり，点$\mathrm{R}$を通るから$\boxed{\text{ス}}=0$である．これより，$a=\boxed{\text{セ}}\text{，}b=\boxed{\text{ソ}}$となる．

　この$2$次曲線$C$の頂点の座標は$(\boxed{\text{タ}},\boxed{\text{チ}})$である．また，第$1$象限において$C$と$x$軸と$y$軸が囲む面積$S$は，

$S={\displaystyle {\int }_{\boxed{\text{テ}}}^{\boxed{\text{ツ}}}}(a{x}^2+bx+c)dx$

で与えられるから，$S=\boxed{\text{ト}}$となる．

【３】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$人が交互にさいころを投げ，出た目の数を自分の得点とする．初めに$\mathrm{A}$がさいころを投げ，自分の得点の合計が先に$6$以上になった方を勝ちとしてゲームを終了する．ただし，例外として次の$3$つのルールを定める．

・$\mathrm{A}$が$1$の目を出したときは$\mathrm{A}$の勝ちとしてゲームを終了する．

・$\mathrm{A}$が$2$の目を出したときは$\mathrm{B}$の勝ちとしてゲームを終了する．

・$\mathrm{B}$が$1$または$2$の目を出したときは$\mathrm{B}$の勝ちとしてゲームを終了する．

このとき次の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{A}$が$1$回目で勝つ確率を求めなさい．

(2)　$2$回目で$\mathrm{B}$がさいころを投げてゲームが終了する確率を求めなさい．

(3)　このゲームで$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい．