2011　岩手県立大学　前期総合思考力試験I

【１】　はがきにつけられた通し番号によって，切手シートがもらえるくじ付きはがきがある．抽選の結果，番号の下$2$桁が$\text{「}08\text{」，}\text{「}43\text{」，}\text{「}62\text{」}$のはがきが当選となった．くじ付きはがきを$450$枚持っている場合，何枚当選すると期待できるか答えなさい．ただし，答えは，小数以下第$1$位を四捨五入して，整数で答えなさい．

【２】　さいころを$4$回投げて，出た目の積が$3$の倍数になる確率を答えなさい．

【３】　命題「東北の夏は涼しい」が正しいとして，次の(a)〜(e)の中から，論理的に正しいものをすべて答えなさい．ただし，$1$つもないときは「なし」と答えなさい．

(a)　九州と比べると東北の夏は涼しい．

(b)　涼しければ東北の夏である．

(c)　北海道の夏の方が涼しい．

(d)　涼しくなければ東北の夏ではない．

(e)　東北の夏でないなら涼しくない．

【４】　$y=x^2-6x+8$のグラフをどのように平行移動すると，$2$次関数$y=x^2+4x+9$のグラフに重なるか答えなさい．

【５】　$0\leqq x<2\pi$のとき，$\sin (x)-\cos (x)>0$となる$x$の範囲を答えなさい．

【６】　$y=-2x^3+4x^2+1$の点$(1,3)$における接線の方程式を答えなさい．

【８】までの指示

　次の式で表される関数について，答えなさい．

$y={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^x+{\log }_{\frac{1}{2}}x$

【７】　$1\leqq x\leqq 4$のときの，$y$の最大値を求めなさい．

【８】　$1\leqq x\leqq 4$のときの，$y$の最小値を求めなさい．

【９】　父，母，$2$人の子供からなる$4$人家族がいる．横一列に並んだ$4$脚の椅子に，父と母，$2$人の子供がそれぞれ隣り合うように座る場合，何通りの座り方があるか答えなさい．

【10】　次のような全体集合$U$と，集合$U$の部分集合$A\text{，}B\text{，}C$がある．このとき，集合$(\overline{A\cup B})\cap C$の要素をすべて答えなさい．

$\begin{array}{ll}U=\{x|1\leqq x\leqq 10\text{，}x\text{は整数}\}\text{，}& A=\{x|1\leqq x\leqq 10\text{，}x\text{は奇数}\}\text{，}\\ B=\{3x-2|1\leqq x\leqq 4\text{，}x\text{は整数}\}\text{，}& C=\{x|1\leqq x\leqq 3\text{，}x\text{は整数}\}\end{array}$

【12】までの指示

　次のように定められた数列の一般項をそれぞれ答えなさい．

【11】　$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}=a_n-n$

【12】　$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}=2a_n-3$

【13】　${\log }_{10}2=0.301\text{，}{\log }_{10}3=0.477$とするとき，${\log }_{6}10$を答えなさい．ただし，小数以下第$4$位を四捨五入して小数以下第$3$位まで答えなさい．

【14】　$A\text{，}B\text{（}A\geqq B\text{）}$を自然数としたとき，$A@B$は$A$を$B$で割った余りを表すものとする．次の式が成り立つとき，$C$を答えなさい．

$C=1+[9@\{(5\times 6)@7\}]$

【15】　${\log }_5(x^2+x+13)=2$のとき，$x$を答えなさい．

【16】　分数式${\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}={\displaystyle \frac{a}{x-1}}+{\displaystyle \frac{b}{x+1}}$が恒等式となるとき，定数$a\text{，}b$をそれぞれ答えなさい．

【17】　${\displaystyle \frac{x+3}{x^2-4}}+{\displaystyle \frac{x+3}{x^2-x-6}}$を簡単化して答えなさい．

【18】　中心が$(a,b)$で，原点を通る円の方程式を答えなさい．

【19】　$y=3\cos (-2\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$の周期を答えなさい．

【20】　定価が$1$本$x$円のペンがある．$6$本を定価で，もう$4$本を半額で買ったとき，支払う総額はいくらになるか答えなさい．

【21】　$2$乗すると，下$2$桁が$44$となる$2$桁の正の整数を$2$つ答えなさい．

【23】までの指示

　放物線$y=x^2+2x-8$と，次の直線あるいは放物線と囲まれた部分の面積をそれぞれ答えなさい．

【22】　$y=0$

【23】　$y=-x^2+2+8$

【24】 If the average of $5\text{,}6\text{,}7$ and $x$ is $8\text{,}$ what is the value of $x$ ?

【26】までの指示

　ある高等学校の生徒$100$人について，数学が好きな生徒は$65$人，コンピュータが好きな生徒は$50$人，いずれも好きでない生徒は$13$人だった．次の$2$つの条件に該当する生徒数をそれぞれ答えなさい．

【25】　数学もコンピュータも好きな生徒数

【26】　数学のみ好きな生徒数

【27】　$40$人のクラスで代表者を$2$人選ぶ．$40$人が$1$名ずつ名前を書いて投票するとき，最低でも何票獲得すれば必ず当選するといえるか答えなさい．

【28】　$x+y+z=4\text{，}xy+yz+xz=2\text{，}xyz=1$のとき，$x^2+y^2+z^2$の値を答えなさい．

【29】　$\{\begin{array}{l}x+y=1\\ ax=by\end{array}$

のとき，$x$を$a$と$b$を用いて答えなさい．

【30】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の$4$人の選手がマラソンをしてる．今，$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$の$5\mathrm{m}$前におり，$\mathrm{C}$は$\mathrm{D}$の$6\mathrm{m}$後にいる．また，$\mathrm{B}$は$\mathrm{C}$の$3\mathrm{m}$前にいるという．このとき，$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の位置関係を答えなさい．

【31】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$種の通貨があり，それぞれ一定の比率で両替ができる．その比率は$\mathrm{A}$通貨$80$単位につき$\mathrm{B}$通貨$100$単位であり，$\mathrm{B}$通貨$100$単位につき$\mathrm{C}$通貨が$120$単位である．また，$\mathrm{A}$通貨$100$単位では$\mathrm{C}$通貨$145$単位である．$\mathrm{A}$通貨$1000$単位を$\mathrm{C}$通貨に両替するとき，(1)および(2)の両替方法のどちらが$\mathrm{C}$通貨でな単位分だけ得であるかを答えなさい．ただし，両替には費用がかからないとする．

(1)　$\mathrm{A}$通貨から$\mathrm{B}$通貨へ両替し，$\mathrm{B}$通貨を$\mathrm{C}$通貨に両替する

(2)　$\mathrm{A}$通貨を$\mathrm{C}$通貨に直接両替する

【32】　$3$点$(1,0)\text{，}(2,3)\text{，}(-1,0)$を通る$2$次関数の式を答えなさい．

【33】　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,-1)$と$\overrightarrow{b}=(3,1)$がなす角度を答えなさい．

【35】までの指示

　空間座標上の点$\mathrm{A}(5,2,3)\text{，}$点$\mathrm{B}(3,1,2)\text{，}$点$\mathrm{C}(4,3,3)$について，答えなさい．

【34】　$\cos (\angle \mathrm{ABC})$の値を答えなさい．

【35】　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を答えなさい．

【36】　和が$315$である九九の段を答えなさい．

【38】までの指示

　関数$y=x^3+3x^2-24x\text{（}-5\leqq x\leqq 4\text{）}$について，答えなさい．

【37】　$y$の最大値を答えなさい．

【38】　$y$の最小値を答えなさい．

【39】　右図のように，$\mathrm{BC}$を直径とする半径$1$の半円内の三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$\theta$を用いて答えなさい．

【40】　次の連立不等式を解きなさい．

$\{\begin{array}{l}8x-3>6x-9\\ 6x+8\geqq 9x+2\end{array}$

【42】までの指示

　次の空欄$\boxed{\text{A}}\text{〜}\boxed{\text{H}}$には$0\text{〜}9$までのいずれか一つの数字があてはまる．

$\begin{array}{cccc}& & \underline{\boxed{\text{B}}}& \underline{\boxed{\text{C}}}\\ \boxed{\text{A}}& \overline{)2}& 3& 8\\ & \underline{\boxed{\text{D}}}& \underline{\boxed{\text{E}}}& \underline{}\\ & & \boxed{\text{F}}& 8\\ & & \underline{\boxed{\text{G}}}& \underline{\boxed{\text{H}}}\\ & & & 3\end{array}$

【41】　空欄$\boxed{\text{A}}$にあてはまる数字を答えなさい．

【42】　空欄$\boxed{\text{C}}$にあてはまる数字を答えなさい．

(編注)割り算の筆算がきたない．今後の課題

【43】　平面上に，点$\mathrm{A}(-3,3)\text{，}$点$\mathrm{B}(\sqrt{3},1)\text{，}$原点$\mathrm{O}$がある．このとき，$\angle \mathrm{AOB}$の角度を答えなさい．

【44】　全体集合$U$の部分集合$A\text{，}B\text{，}C\text{，}D$に関する次の式と同じ集合を$\bar{A}\text{，}\bar{B}\text{，}\bar{C}\text{，}\bar{D}$を用いて表しなさい．

$\overline{((A\cap B)\cup (C\cap D))}$

【46】までの指示

　初項$a\text{，}$公差$d$の等差数列の第$n$項から第$n+k$項までの和$S_{n,k}$について答えなさい．

【45】　$n=2\text{，}k=5$とするとき，$S_{n,k}$を答えなさい．

【46】　$S_{n,k}$を答えなさい．

【47】　${\displaystyle {\int }_0^a}xdx=1\text{，}a>0$を満たす$a$を答えなさい．

【49】までの指示

　初項から第$3$項までの和が$12\text{，}$第$4$項から第$6$項までの和が$-96$の等比数列$\{a_n\}$がある．このとき，次の問いに答えなさい．

【48】　$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

【49】　$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を答えなさい．

【50】　$\overrightarrow{a}=(3,1)\text{，}\overrightarrow{b}=(1,2)$のとき，$\overrightarrow{c}=(5,5)$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて答えなさい．