2011　公立はこだて未来大学　AO

【１】　以下の問いに答えよ．

問１　$A\geqq 0\text{，}B\geqq 0$に対して，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

$\sqrt{AB}\leqq {\displaystyle \frac{A+B}{2}}$

また，等号が成り立つのは，どのようなときか．

問２　$0$以上の実数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$に対して，問１で$A=\sqrt{ab}\text{，}B=\sqrt{cd}$としたものを用いることにより，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

$\sqrt[4]{abcd}\leqq {\displaystyle \frac{a+b+c+d}{4}}$

また，等号が成り立つのは，どのようなときか．

【２】　$2$つの放物線$l\text{：}y=4x^2-9x+12$と，$m\text{：}y=x^2$を考える．さらに，$y$軸に平行な直線$x=t$を$n$とする．$l$と$n$の交点を$\mathrm{P}\text{，}m$と$n$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，以下の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ$t$で表せ．

問２　線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．$t$がすべての実数値をとって変化するとき，$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．

【３】　座標平面において，点$\mathrm{P}(2,2)$と点$\mathrm{Q}({\displaystyle \frac{2}{5}},{\displaystyle \frac{6}{5}})$を通り，かつ$y$軸に接する円は$2$つある．これらの円を表す方程式を，それぞれ求めよ．

【４】　変数$x$の$2$次式$f(x)$と$3$次式$g(x)$について，以下の問いに答えよ．

問１　放物線$y=f(x)$が直線$x=-1$を軸とし，$2$点$(0,0)\text{，}(1,9)$を通るとき，$f(x)$を求めよ．

問２　$g(x)$が$g(0)=1$と$g(-2)=3$を満たすとき，$g(x)$を問１で求めた$f(x)$で割った余りを求めよ．