2011　公立はこだて未来大学　推薦

【１】　以下の問いに答えよ．

問１　$3$次方程式$x^3-2x^2+2x-1=0$を複素数の範囲で解け．

問２　問１の$3$次方程式の$3$つの解を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$とするとき，$\alpha -1\text{，}\beta -1\text{，}\gamma -1$を解にもつ$3$次方程式$x^3+p{x}^2+qx+r=0$の定数$p\text{，}q\text{，}r$の値を求めよ．

問３　問１の$3$次方程式の$3$つの解を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$とするとき，${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}+1\text{，}{\displaystyle \frac{1}{\beta }}+1\text{，}{\displaystyle \frac{1}{\gamma }}+1$を解にもつ$3$次方程式$x^3+p^{\prime }{x}^2+q^{\prime }x+r^{\prime }=0$の定数$p^{\prime }\text{，}{q}^{\prime }\text{，}{r}^{\prime }$の値を求めよ．

【２】　$2$次関数$f(x)=-x(x-2)$を考える．放物線$y=f(x)$上に，$y$座標が正の点$\mathrm{P}$をとり，原点と点$\mathrm{P}$を結ぶ直線を$l$と表す．以下の問いに答えよ．

問１　直線$l$と放物線$y=f(x)\text{，}$および$x$軸で囲まれる図形の面積を$S_1$とする．直線$l$と放物線$y=f(x)$のみで囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_1=7S_2$となるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

問２　問１で求めた点$\mathrm{P}$における$y=f(x)$の接線を$m$とする．接線$m$と放物線$y=f(x)\text{，}$および$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

【３】　平面上のベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(1,1)\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(2,0)$を考える．$s\text{，}t$を実数とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表されるとき，以下の問いに答えよ．

問１　$s\text{，}t$が，$s\geqq 0\text{，}t\geqq 0\text{，}s+t\leqq 1$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$が存在する範囲を図示せよ．

問２　$s\text{，}t$が，$s\geqq 0\text{，}t\leqq 0\text{，}s-t\leqq 0$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$が存在する範囲を図示せよ．必要ならば，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(-t)(-\overrightarrow{\mathrm{OB}})$を用いてよい．

問３　$s\text{，}t$が，$|s+t|\leqq 1\text{，}|s-t|\leqq 1$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$が存在する範囲を図示せよ．

【４】　数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点の位置にある．硬貨を$1$枚投げて，表が出たら点$\mathrm{P}$は正の向きに$1$だけ進み，裏が出たら負の向きに$1$だけ進む．硬貨を$10$回投げたとき，以下の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{P}$の座標が$4$であるとき，硬貨の表が出た回数を答えよ．

問２　点$\mathrm{P}$の座標が$4$である確率を求めよ．

問３　点$\mathrm{P}$の座標が$3$である確率を求めよ．

問４　点$\mathrm{P}$の座標が$-8$である確率を求めよ．