2011　公立はこだて未来大学　前期

【１】　$x\text{，}y$は実数とする．命題「$3x^2+y^2+4xy\ne 0$ならば$x+y\ne 0$である」について，以下の問いに答えよ．

問１　命題の逆，裏，対偶をそれぞれ述べよ．

問２　命題を証明せよ．

問３　命題の裏の反例を$1$つあげよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

問１　$3$次方程式$4x^3-3x+1=0$を解け．　

【２】　以下の問いに答えよ．

問２　${\log }_2\cos \theta +{\log }_2({\sin }^2\theta -{\displaystyle \frac{1}{4}})+2=0$を満たす$\theta$で，$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲にあるものを求めよ．

【３】　関数$f(x)=x^2-2|2x-1|+2$について，以下の問いに答えよ．

問１　$y=f(x)$のグラフを描け．

問２　$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．

問３　$y=f(x)$のグラフに，異なる$2$点で接する直線を求めよ．

【１】　座標平面において，原点を通り傾きが$\tan 2\theta$の直線を$l$で表す．ただし，$\theta$は$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を満たすとする．中心が第$1$象限に属し，直線$l$と$x$軸に接する半径$1$の円$C$を考える．さらに，円$C$と直線$l$および$x$軸に接し，中心が第$1$象限に属する$2$つの円のうち，面積が大きいものを$C^{\prime }$で表す．以下の問いに答えよ．

問１　円$C$の方程式を求めよ．

問２　円$C^{\prime }$の半径を，$\theta$の関数として表せ．

問３　円$C^{\prime }$の円周の長さが，円$C$の円周の長さの$3$倍になるように$\theta$の値を定めよ．

【２】　$2$次関数$f(x)=x^2-2x+2$について，以下の問いに答えよ．

問１　$t$を実数とする．$t-1\leqq x\leqq t$の範囲において，$f(x)$の最大値を$t$の関数の形で求めよ．

問２　問１で求めた$t$の関数を$p(t)$とおく．$t$がすべての実数値をとって変化するとき，座標平面上の点$(t,p(t))$の軌跡を描け．

問３　$t$を実数とする．$t-1\leqq x\leqq t$の範囲において，$f(x)$の最小値を$t$の関数の形で求めよ．

問４　問３で求めた$t$の関数を$q(t)$とおく．$t$がすべての実数値をとって変化するとき，座標平面上の点$(t,q(t))$の軌跡を描け．

【１】　座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(-2,0)\text{，}\mathrm{B}(2,0)$を端点とする線分$\mathrm{AB}$と楕円の上半分$x^2+4y^2=4\text{，}y\geqq 0$に$4$つの頂点がある台形$\mathrm{ABCD}$について，以下の問いに答えよ．ただし，点$\mathrm{C}$は第$1$象限，点$\mathrm{D}$は第$2$象限に属しているとする．

問１　点$\mathrm{C}$の$x$座標を$2\cos \theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とするとき，台形$\mathrm{ABCD}$の面積を$\theta$を用いて表せ．

問２　台形$\mathrm{ABCD}$の面積の最大値を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{C}$の$x$座標を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$の一般項を

$a_n={\displaystyle {\int }_0^{n\pi }}{e}^{-x}\sin xdx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定めるとき，以下の問いに答えよ．

問１　$\sin x={(-\cos x)}^{\prime }$を用いた部分積分法により，

$a_n=A_n-{\displaystyle {\int }_0^{n\pi }}{e}^{-x}\cos xdx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$となるときの$A_n$を求めよ．

問２　問１で求めた$A_n$について，$a_n={\displaystyle \frac{A_n}{2}}$が成り立つことを示せ．

問３　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．