2011　釧路公立大学　中期

【１】　$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ$a\text{，}b\text{，}c$で表し，$\angle \mathrm{A}\text{，}\angle \mathrm{B}\text{，}\angle \mathrm{C}$の大きさを，それぞれ$A\text{，}B\text{，}C$で表す．

　$\sin A:\sin B:\sin C=7:8:3$が成立しているとき，以下の各問に答えよ．

問１　$\cos A\text{，}\cos B\text{，}\cos C$の値の中で，最大値を求めよ．またそのときの，正接の値を求めよ．

問２　$\sin A\text{，}\sin B\text{，}\sin C$の値の中で，最大値を求めよ．

問３　$b=4$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線が辺$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{P}$とするとき，線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．

問４　上記問３のもとで，$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径と，内接円の半径を求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．

問１　$200$から$500$までの整数の集合を$U$とする．次の数を求めよ．

(1)　$U$のうち，$5$か$7$のどちらかで割り切れる整数の個数．

(2)　$U$のうち，$5$で割り切れるが，$7$で割り切れない整数の個数．

(3)　$U$のうち，$5$でも$7$でも割り切れない整数の個数．

【２】　以下の各問に答えよ．

問２　整数を要素とする$2$つの集合

$A=\{-3,2,a^2-9a+25,2a+3\}$

$B=\{-2,a^2-4a-10,a^2-5a+1,a+6,16\}$

において，$A\cap B=\{2,7)$とする．

(1)　$A\cup B$を求めよ．

(2)　$\bar{A}\cap B$を求めよ．

【３】　半径が$a$の球に内接する直円$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$のうち，体積が最も大きいものを直円錐$C$とし，その高さを$h\text{，}$体積を$V$とする．ただし，$a$は定数であり，円周率は$\pi$とする．このとき，以下の各問に答えよ．

問１　直円錐$C$の体積$V$を$h$の関数で表せ．

問２　$a=6$のとき，$h$と$V$を求めよ．

問３　上記問２において，直円錐$C$の表面を底面の円と側面の扇形に分解したとき，扇形の中心角$\theta$を求めよ．