2011　札幌医科大学　前期

【１】　$a\text{，}b$を実数とし，$x$に関する方程式

$\cos 2x+a\cos x+b=0$

を考える．この方程式が$0\leqq x<2\pi$の範囲で，$2$個の異なる実数解を持つための$a\text{，}b$に関する条件を求めよ．

【２】　$1$から$n$までの番号が書かれた$n$個の箱があり，各々の箱には$2n$本のくじが入っている．番号が$l$の箱には$l$本の当たりが入っているとする．この条件で次の$\text{①}\text{，}\text{②}$を試行する．

$\text{①}$　無作為に箱を$1$つ選ぶ．

$\text{②}$　$\text{①}$で選んだ箱を用いて，くじを$1$本ひいては戻すことを$m$回繰り返す．

この試行で$k$回当たりくじを引く確率を$p_n(m,k)$とする．

(1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n(2,0)\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n(2,1)\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n(2,2)$をそれぞれ求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n(m,1)$を$m$を用いて表せ．

【３】　$a$を正の定数，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とし，行列$X_{a,\theta }$を

$X_{a,\theta }=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& {\displaystyle \frac{1}{a}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& a\end{array}\right)$

で定義する．また$E$を$2$次の単位行列とする．

(1)　$2$次の正方行列$X$が，$X^2=E$を満たし，行列$X$の表す$1$次変換は，点$(1,0)$を第$1$象限内に，点$(0,1)$を第$4$象限内に移すとする．このとき行列$X$は$X_{a,\theta }$の形になることを示せ．

(2)　$a_1$と$a_2$を正の定数，${\theta }_1$と${\theta }_2$を第$1$象限の角とする．$A=X_{a_1,{\theta }_1}\text{，}B=X_{a_2,{\theta }_2}$とするとき${(AB)}^2=E$となるための条件を$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{\theta }_1\text{，}{\theta }_2$を用いて表せ．

【４】　$0\leqq x\leqq a$で定義された$2$つの関数

$f(x)=(a-x)e^x$

$g(x)=b{x}^2$

を考える．ただし$a\text{，}b$は定数とし，$a$は$1<a\leqq 2$を満たすとする．さらに$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$が$f(x)$の最大値をとる点で交わるとする．

(1)　曲線$y=f(x)$の概形を描け．

(2)　$b$を$a$を用いて表せ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }x{e}^{2x}dx$を求めよ．

(4)　$2$曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$および$x$軸で囲まれる図形を$x$軸の周りに一回転させてできる回転体の体積を$a$を用いて表せ．