2011　琉球大学　後期理学部

【１】　$2$つの放物線$C_1\text{：}y=x^2-(a+1)x+a\text{，}{C}_2\text{：}y=x^2-(a-1)x-a$がある．ただし，$-1\leqq a<1$とする．次の問いに答えよ．

問１　$C_1$と$C_2$の両方に接する直線$l$の方程式を求めよ．

問２　$C_1$と$C_2$および$l$によって囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$は次の条件を満たすとする．

$S_1=1\text{，}{S}_{n+1}-3S_n=2^{n+1}-1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　次の問いに答えよ．

問１　数列$\{a_n\}$の満たす漸化式を求めよ．

問２　$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{2^n}}$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

問３　$a_{100}$を$4$で割ったときの余りを求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

問１　$50!$を素因数分解したとき，累乗$2^a$の指数$a$を求めよ．

問２　${}_{100}C_{50}$を素因数分解したとき，累乗$3^b$の指数$b$を求めよ．

【４】　平面上で，不等式${(x-2)}^2>y^2$の表す領域を$A\text{，}$連立不等式$\{\begin{array}{l}{(x-2)}^2\geqq y^2\\ y\geqq x^2-2x\end{array}$の表す領域を$B$とする．次の問いに答えよ．

問１　領域$A$を図示せよ．

問２　領域$B$の面積を求めよ．

問３　領域$B$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．