2011　琉球大学　前期

【１】　次の問いに答えよ．

問１　${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}-1}}$の整数部分を$a\text{，}$小数部分を$b$とする．このとき，$a^2+ab+b^2$と${\displaystyle \frac{1}{a-b-1}}-{\displaystyle \frac{1}{a+b+1}}$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問２　$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx-14=0$の$1$つの解が$2+\sqrt{3}i$であるとき，実数の定数$a\text{，}b$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問３　次の方程式を解け．

${\log }_5(1-4\cdot 5^x)=2x+1$

【２】　放物線$y=x^2$上の異なる$2$点$\mathrm{P}(p,p^2)\text{，}\mathrm{Q}(q,q^2)$における接線が点$\mathrm{R}$で交わっている．次の問いに答えよ．

問１　$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

問２　$p=-1\text{，}q=2$のとき，$2$本の接線と放物線で囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】　実数$p$に対して，行列$A\text{，}B\text{，}C$をそれぞれ

$A=\left(\begin{array}{cc}0& p\\ 1& 0\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1+p\end{array}\right)\text{，}C=\left(\begin{array}{cc}1& p\\ 1+p& -1\end{array}\right)$

とおく．さらに，行列$A_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を

$A_1=A\text{，}{A}_{n+1}=A_{n}B-B{A}_n+C\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．次の問いに答えよ．

問１　$A_2\text{，}{A}_3$を求めよ．

問２　$A_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて示せ．

【２】　中心が$(2,0,1)\text{，}$半径が$2\sqrt{5}$の球面が$yz$平面と交わってできる円を$C$とする．次の問いに答えよ．

問１　$C$の中心の座標と半径を求めよ．

問２　点$\mathrm{P}$は$C$上を動き，点$\mathrm{Q}$は$xy$平面上の直線$x=y$上を動くとする．線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値，およびそのときの$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

【３】　$1$から$4$までの番号を$1$つずつ書いた$4$枚のカードがある．この中から$1$枚を抜き取り，番号を記録してもとに戻す．これを$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数の最大公約数を$X$とする．ただし，$n$は$2$以上の自然数とする．次の問いに答えよ．

問１　$X=3$となる確率と$X=4$となる確率を$n$を用いて表せ．

問２　$X=2$となる確率を$n$を用いて表せ．

問３　$X$の期待値を$n$を用いて表せ．

【４】　次の問いに答えよ．

問１　定積分${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}x\sin 2xdx$を求めよ．

問２　$m\text{，}n$が自然数のとき，定積分${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}\sin mx\sin nxdx$を求めよ．

問３　$a\text{，}b$を実数とする．$a\text{，}b$の値を変化させたときの定積分$I={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{(x-a\sin x-b\sin 2x)}^{2}dx$の最小値，およびそのときの$a\text{，}b$の値を求めよ．