2011　鹿児島大学　前期

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　$0<a<1$とする．次の不等式を解け．

${\log }_a(2x-1)+{\log }_a(x-1)\leqq 0$

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　${(2x-y+z)}^8$の展開式における$x^2{y}^3{z}^3$の係数を求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　三角形の$3$辺の長さ$a\text{，}b\text{，}c$の比が$a:b:c=7:6:5$であり，面積が$12\sqrt{6}$のとき，$a$の値を求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(4)　$m$と$n$を正の整数とする．$n$を$m$で割ると$7$余り，$n+13$は$m$で割り切れるとき，$m$の値をすべて求めよ．

【２】　四角形$\mathrm{ABCD}$に対して次の$\text{①}$と$\text{②}$が成り立つとする．

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{DA}}\cdots \text{①}$

$\overrightarrow{\mathrm{DA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}\cdots \text{②}$

このとき，四角形$\mathrm{ABCD}$は向い合う辺の長さが等しくなる（すなわち平行四辺形になる）ことを示せ．

【３-１】　$0\leqq x\leqq 1$とする．このとき，関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^1}|t^2-xt|dt$

と定義する．次の各問いに答えよ．

(1)　$t$の関数$g(t)=|t^2-xt|$のグラフの概形をかけ．

(2)　$f(x)$を求めよ．

(3)　$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

【３-２】　関数$f(x)$は

$f(x)=\cos x+{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }f(y)\sin (x-y)dy}$

をみたすものとする．次の各問いに答えよ．

(1)　$f(x)$は

$f(x)=a\sin x+b\cos x$

の形に表されることを示せ．ただし，$a$と$b$は定数である．

(2)　$f(x)$を求めよ．

【４】　$f(x)$は数直線上の連続関数で，次の条件(ⅰ)，(ⅱ)をみたすものとする．

(ⅰ)　$f(x)$は周期$1$の周期関数，すなわち，すべての$x$で$f(x+1)=f(x)$が成り立つ．

(ⅱ)　${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx=0$

次の問いに答えよ．

(1)　条件(ⅰ)と(ⅱ)をみたす恒等的に$0$でない連続関数$f(x)$の例を$1$つ挙げよ．

(2)　$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(y)dy$とおくと，$F(x)$も周期$1$の周期関数であることを示せ．

(3)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，${\displaystyle \frac{d}{dx}}F(nx)$を$f$を用いて表せ．

(4)　数列$\{a_n\}$を

$a_n={\displaystyle {\int }_0^1}xf(nx)dx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定める．$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$を示せ．

【５-１】　次の行列$A$を考える．

$A=\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ -2& 0\end{array}\right)$

次の各問いに答えよ．

(1)　$2\times 2$行列$X$に対して，$E-X$が逆行列を持つとき

$E+X+X^2+\cdots +X^n=(E-X^{n+1}){(E-X)}^{-1}$

が成立することを示せ．ただし，$E$は$2\times 2$の単位行列である．

(2)　$A^2$と$A^3$を計算せよ．さらに$A^{100}$と$A^{101}$を計算せよ．

(3)　$E+A+A^2+\cdots +A^{100}$を計算せよ．

【５-２】　曲線$C$は極方程式$r=2\cos \theta$で定義されているとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　曲線$C$を直交座標$(x,y)$に関する方程式で表し，さらに図示せよ．

(2)　点$(-1,0)$を通る傾き$k$の直線を考える．この直線が曲線$C$と$2$点で交わるような$k$の値の範囲を求めよ．

(3)　(2)のもとで，$2$交点の中点の軌跡を求めよ．

【５-３】　大小$2$個のさいころを同時に投げる試行を考える．この試行で，大きいさいころの出た目を$X\text{，}$小さいさいころの出た目を$Y$とする．$T=2X-Y$とするとき，次の各問いに答えよ．

(1)　確率$P(T=6)\text{，}P(T\geqq 0)$を求めよ．

(2)　分散$V(X)\text{，}$平均$E(T)$を求めよ．

(3)　$V(aT)=25$となる定数$a$の値を求めよ．

【５-４】　次の各問いに答えよ．

(1)　確率変数$X$は$0$以上$3$以下の値をとり，その確率密度関数$f(x)$は次で与えられているとする．このとき，定数$k\text{，}$平均$E(X)$を求めよ．

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{（}0\leqq x<1\text{のとき）}\\ -{\displaystyle \frac{1}{4}}x+k& \text{（}1\leqq x\leqq 3\text{のとき）}\end{array}$

【５-４】　次の各問いに答えよ．

(2)　$Z$を標準正規分布$N(0,1)$に従う確率変数とする．また，任意の$x\text{（}x\geqq 0\text{）}$に対して，関数$g(x)$を$g(x)=P(0\leqq Z\leqq x)$とおく．このとき，次の各問いに答えよ．

(a)　確率$P(a\leqq Z\leqq b)$を関数$g$で表せ．ただし，$a$と$b$は定数で$a<b$とする．

(b)　母平均$50\text{，}$母標準偏差$3\sqrt{10}$の母集団から大きさ$10$の標本を抽出するとき，標本平均が$41.0$以上$48.5$以下になる確率を関数$g$で表せ．

(c)　$0<p<1$とし，$l_p$は$g(l_p)={\displaystyle \frac{p}{2}}$をみたすものとする．母分散$25$の母集団から大きさ$20$の標本を抽出したところ，標本平均が$45$であった．母平均$m$に対する信頼度$100p\mathrm{\%}$の信頼区間の区間幅を$l_p$を用いて表せ．