2011　宮崎大学　後期教育文化学部

【１】　右図のように，$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{BC}=3\text{，}\mathrm{CD}=5\text{，}\mathrm{DA}=6$の四角形$\mathrm{ABCD}$がある．ただし，この四角形$\mathrm{ABCD}$の内角はすべて$180\mathrm{°}$未満とする．$\mathrm{\angle ABC}=\alpha \text{，}\mathrm{\angle CDA}=\beta$とおくとき，次の各問に答えよ．

(1)　以下の『$$』で囲まれた文章は，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積の最大値を求めるための解答の一部である．空欄(あ)〜(お)に当てはまる数式や数値を答えよ．

『四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を$S$とおく．$\mathrm{▵ABC}$と$\mathrm{▵CDA}$の面積をそれぞれ$\alpha$と$\beta$を用いて表すことにより，

$S=\boxed{\text{(あ)}}\cdots \text{①}$

とかくことができる．

　一方，余弦定理から${\mathrm{AC}}^2$を，$\alpha$を用いて表すと，

${\mathrm{AC}}^2=\boxed{\text{(い)}}\cdots \text{②}$

となる．同様に${\mathrm{AC}}^2$を，$\beta$を用いて表すと，

${\mathrm{AC}}^2=\boxed{\text{(う)}}\cdots \text{③}$

となる．等式$\text{②}$から等式$\text{③}$をひいて整理すると，

$\boxed{\text{(え)}}=3\cos \alpha -15\cos \beta \cdots \text{④}$

となる．

　ここで，等式$\text{①}$と等式$\text{④}$の両辺をそれぞれ$2$乗して加えて整理すると，

$S^2=\boxed{\text{(お)}}$

が得られる．（以後省略）』

(2)　図のような四角形$\mathrm{ABCD}$について，$1<\mathrm{AC}<5$を満たすことを示せ．

(3)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積の最大値と，そのときの線分$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

【２】　右図の$\mathrm{▵ABC}$において，点$\mathrm{D}$をその境界上にない内部の点とし，直線$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{E}$とする．また，$\mathrm{▵ABC}$の辺上の点$\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}\text{，}\mathrm{I}\text{，}\mathrm{J}\text{，}\mathrm{K}$は，$\mathrm{FG}⫽\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{HI}⫽\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{JK}⫽\mathrm{BC}$を満たし，$3$直線$\mathrm{FG}\text{，}\mathrm{HI}\text{，}\mathrm{JK}$は，点$\mathrm{D}$で交わっている．$\mathrm{AF}:\mathrm{AB}=p:1\text{，}\mathrm{AH}:\mathrm{AC}=q:1\text{（}0<p<1\text{，}0<q<1\text{）}$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\mathrm{BE}:\mathrm{EC}$を，$p$と$q$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{AD}:\mathrm{AE}$を，$p$と$q$を用いて表せ．

(3)　$p+q\text{（}0<p+q<1\text{）}$の値が一定のとき，$\mathrm{▵FJD}\text{，}\mathrm{▵HDK}\text{，}\mathrm{▵DIG}$の面積の和が最小となるのは，点$\mathrm{D}$が線分$\mathrm{JK}$の中点のときであることを示せ．

【３】　集合$\mathrm{M}=\{m^2+mn+n^2|m\text{，}n\text{は負でない整数}\}$について，次の各問に答えよ．

(1)　負でない整数$a\text{，}b\text{，}x\text{，}y$について，次の等式が成り立つことを示せ．

$(a^2+ab+b^2)(x^2+xy+y^2)$

$={(ax+ay+by)}^2+(ax+ay+by)(bx-ay)+{(bx-ay)}^2$

(2)　$7\text{，}31\text{，}217$が集合$\mathrm{M}$の要素であることを示せ．

(3)　集合$\mathrm{M}$の各要素$\alpha \text{，}\beta$について，積$\alpha \beta$の値は$\mathrm{M}$の要素であることを示せ．

【４】　数直線上の点${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_n\text{，}\cdots$は，次の規則で並んでいる．

点${\mathrm{A}}_1$の座標は$1\text{，}$点${\mathrm{A}}_2$の座標は$2$であり，$2$以上の各自然数$n$について点${\mathrm{A}}_{n+1}$は線分${\mathrm{A}}_{n-1}{\mathrm{A}}_n$を$1:t\text{（}t>0\text{）}$に内分する点である．

　各自然数$n$について，点${\mathrm{A}}_n$の座標を$a_n$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$2$以上の自然数$n$について，$a_{n+1}$を，$a_{n-1}\text{，}{a}_n$および$t$を用いて表せ．

(2)　$b_n=a_{n+1}-a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とするとき，$b_{n+1}$を，$b_n$と$t$を用いて表せ．また，これを利用して，$a_n$を，$n$と$t$を用いて表せ．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を，$t$を用いて表せ．

(4)　$a=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$とするとき，すべての正の実数$t$に対して$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

【５】　関数$f(x)=e^{\frac{2}{3}\sin x}\cos x$について，次の各問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲で，関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(3)　座標平面上で，曲線$C\text{：}y=f(x)\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$と$x$軸で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．