2011　熊本大学　後期理学部

【１】　$p\text{，}q$を実数とし，

$A=\left(\begin{array}{cc}0& p\\ q& 0\end{array}\right)$

とおく．

(問１)　自然数$n$に対して$A^{2n}$を求めよ．

(問２)　$r\text{，}s$を実数とし，数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n\text{，}\cdots$は

$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}r\\ s\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{a}_{2n+1}\\ a_{2n+2}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{a}_{2n-1}\\ a_{2n}\end{array}\right)\text{（}n\geqq 1\text{）}$

を満たすとする．$a_{27}$を求めよ．

(問３)　$r=1\text{，}s=0$のとき，和${\displaystyle \sum _{n=1}^{42}}{a}_n$を求めよ．

【２】　$C$を放物線$y=x^2$とする．

(問１)　$C$上の異なる$2$点$\mathrm{P}(p,p^2)\text{，}\mathrm{Q}(q,q^2)$における$2$つの接線の交点を求めよ．

(問２)　$a^2<b$とする．点$(a,b)$を通り，傾き$k$の直線を$l$とする．$l$と$C$の交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$における$C$の$2$つの接線の交点の座標を，$a\text{，}b\text{，}k$を用いて表せ．

【３】　$f(x)=(1+2x)\sin \{\pi (x+x^2)\}$として，以下の問いに答えよ．

(問１)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(問２)　$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f({\displaystyle \frac{1}{2}}+h)-\sqrt{2}}{h}}$を求めよ．

(問３)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}}(x-a)f^{\prime }(x)dx=0$となるように定数$a$を求めよ．