2011　長崎大学　前期MathJax

【１】　$f(x)=1-x^2$とし，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,f(a))$は${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}$の範囲で動くものとする．原点と点$\mathrm{P}$の$2$点を通る直線を$l\text{，}$点$\mathrm{P}$における$y=f(x)$の接線を$m$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$2$直線$l$と$m$の方程式を求めよ．

(2)　$x\geqq 0$において，$y$軸と曲線$y=f(x)$および直線$l$で囲まれた図形の面積を$S_1(a)$とし，$y$軸と曲線$y=f(x)$および直線$m$で囲まれた図形の面積を$S_2(a)$とする．$S_1(a)$と$S_2(a)$を$a$を用いて表せ．

(3)　$S_1(a)=2S_2(a)$を満たす$a$の値を求めよ．

(4)　$S_1(a)-S_2(a)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．

【２】　$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=4\text{，}\mathrm{BC}=3\text{，}\mathrm{CA}=5$である直角三角形$\mathrm{ABC}$と，その内側にあって$2$辺$\mathrm{AB}$および$\mathrm{AC}$に接する円$O$を考える．この円の半径を$r$とし，中心$\mathrm{O}$から$\mathrm{AB}$に引いた垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．また，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と同じ向きで大きさが$1$のベクトルを，それぞれ$\overrightarrow{u}\text{，}\overrightarrow{v}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=t\overrightarrow{u}\text{（}t>0\text{）}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{AO}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{M}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を$\overrightarrow{u}$と$\overrightarrow{v}$を用いて表せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{u}\text{，}\overrightarrow{v}$の内積$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$を求め，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$と$\overrightarrow{\mathrm{HO}}$を，それぞれ$\overrightarrow{u}\text{，}\overrightarrow{v}$および$t$を用いて表せ．また，円$O$の半径$r$を$t$で表せ．

(3)　円$O$が辺$\mathrm{BC}$にも接するとき，その中心を$\mathrm{I}$とする．すなわち，$\mathrm{I}$は三角形$\mathrm{ABC}$の内心である．そのときの$t$の値と，内接円$I$の半径を求めよ．

(4)　円$O$と内接円$I$が共有点をもたないような$t$の範囲を求めよ．

【３】　右図の平行六面体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおき，次の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{ACD}$と線分$\mathrm{OF}$との交点を$\mathrm{H}$とする．

$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=r\overrightarrow{\mathrm{AC}}+s\overrightarrow{\mathrm{AD}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OH}}=t\overrightarrow{\mathrm{OF}}$

をみたす実数$r\text{，}s\text{，}t$を求めよ．また，$\mathrm{H}$が三角形$\mathrm{ACD}$の重心であることを示せ．

(2)　$\mathrm{H}$は三角形$\mathrm{ODB}$の重心でもあることを示せ．

(3)　さらに$\mathrm{OA}=\mathrm{OC}\text{，}\mathrm{\angle AOD}=\mathrm{\angle COD}$ならば，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}$であることを示せ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　関係式

$a_1=1\text{，}n{a}_{n+1}-(n+1)a_n=1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

によって定義される数列$\{a_n\}$の一般項を求めたい．$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とおいて数列$\{b_n\}$の一般項を求めることにより，$a_n$を求めよ．

(2)　$x\ne 1$のとき，等比数列の和の公式

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{x}^k={\displaystyle \frac{x^n-1}{x-1}}$

の両辺を$x$で微分せよ．その結果を利用して，${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}k{x}^k$を求めよ．

(3)　$p\ne 1$のとき，関係式

$c_1=0\text{，}{\displaystyle \frac{p{c}_{n+1}}{n}}-{\displaystyle \frac{c_n}{n+1}}={\displaystyle \frac{1}{n+1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

によって定義される数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{3}}+y^2=1$上の点$(1,{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}})$における接線の方程式を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(2)　$\theta$が$\tan \theta ={\displaystyle \frac{1}{5}}$および$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を満たすとき，$\tan 2\theta$と$\tan 4\theta$の値を求めよ．また，$4\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+\alpha$とおくとき，$\tan \alpha$の値を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }({\displaystyle \frac{n}{n^2+1^2}}+{\displaystyle \frac{n}{n^2+2^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{n}{n^2+n^2}})$を，ある関数$f(x)$の$0\leqq x\leqq 1$における定積分を用いて表し，この極限値を求めよ．

【６】　次の問いに答えよ．

(1)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において次の不等式を解け．

$\sin x+\cos 2x\geqq 0$

(2)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，曲線$y=\sin x$と曲線$y=-\cos 2x$および直線$x=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$が囲む図形の面積$S$を求めよ．

(3)　上の図形の$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

【７】　円

$C_1\text{：}{x}^2+y^2-2\sqrt{3}x-4y+3=0$

と放物線

$C_2\text{：}y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{3}}}x+1$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と座標軸との共有点，および$C_2$と座標軸との共有点の座標を求めよ．

(2)　連立不等式

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-2\sqrt{3}x-4y+3\leqq 0\\ y\leqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{3}}}x+1\end{array}$

を満たす点$(x,y)$全体からなる領域を$D$とする．$D$の面積$S$を求めよ．

(3)　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，$x+y$の最大値を求めよ．

【８】　曲線$y=\log x$の接線は常にこの曲線の上側にあることを利用して，次の問いに答えよ．以下，$k$は自然数とする．

(1)　点${\mathrm{A}}_k(k,0)$を通り$x$軸に垂直な直線と曲線$y=\log x$との交点を${{\mathrm{A}}^{\prime }}_k$とし，${{\mathrm{A}}^{\prime }}_k$におけるこの曲線の接線を$l_k$とする．また，$k\geqq 2$のとき，${\mathrm{B}}_k(k-{\displaystyle \frac{1}{2}},0)\text{，}{C}_k(k+{\displaystyle \frac{1}{2}},0)$を通り$x$軸に垂直な直線と接線$l_k$との交点をそれぞれ${{\mathrm{B}}^{\prime }}_k\text{，}{{\mathrm{C}}^{\prime }}_k$とする．四角形${\mathrm{B}}_k{\mathrm{C}}_k{{\mathrm{C}}^{\prime }}_k{{\mathrm{B}}^{\prime }}_k$の面積を求めよ．

(2)　次の$2$つの値の大小を比較せよ．

ア)　$\log k$と${\displaystyle {\int }_{k-\frac{1}{2}}^{k+\frac{1}{2}}}\log xdx$（ただし，$k\geqq 2$）

イ)　${\displaystyle \frac{\log k+\log (k+1)}{2}}$と${\displaystyle {\int }_k^{k+1}}\log xdx$（ただし，$k\geqq 1$）

(3)　$a_n=\log (n!)-{\displaystyle \frac{1}{2}}\log n$とおくと，$2$以上の自然数$n$について，次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle {\int }_{\frac{3}{2}}^n}\log xdx<a_n<{\displaystyle {\int }_1^n}\log xdx$

(4)　$2$以上の自然数$n$について

$\{\begin{array}{l}{U}_n=(n+{\displaystyle \frac{1}{2}})\log n-n+{\displaystyle \frac{3}{2}}(1-\log {\displaystyle \frac{3}{2}})\\ V_n=(n+{\displaystyle \frac{1}{2}})\log n-n+1\end{array}$

とおくとき，次の不等式を示せ．

$U_n<\log (n!)<V_n$

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