2011　九州工業大学　前期

【１】　四面体$\mathrm{OABC}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=2\text{，}$$\mathrm{OC}=1\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=\mathrm{\angle AOC}=60\mathrm{°}$をみたしている．線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{OM}$を$s:1-s$$\text{（}0<s<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\mathrm{\angle BOC}=\theta$$\text{（}0\mathrm{°}<\theta <180\mathrm{°}\text{）}$として，次に答えよ．

(ⅰ)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$と$s$を用いて表せ．

(ⅱ)　$\overrightarrow{\mathrm{CH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OM}}$のとき，$s$を$\theta$を用いて表せ．

(ⅲ)　$\overrightarrow{\mathrm{CH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OM}}\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{{\displaystyle \frac{17}{5}}}$とするとき，$\cos \theta$と$s$の値を求めよ．

(ⅳ)　$\overrightarrow{\mathrm{CH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OM}}\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{{\displaystyle \frac{17}{5}}}$とするとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．

【２】　実数$\theta$に対して，行列$A$を$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$とする．また，$n$を自然数とし，$A$の$n$乗を$A^n$で表す．次に答えよ．

(ⅰ)　数学的帰納法により，すべての自然数$n$に対して

$A^n=\left(\begin{array}{cc}\cos n\theta & -\sin n\theta \\ \sin n\theta & \cos n\theta \end{array}\right)$

が成立することを示せ．

(ⅱ)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{12}}$とする．ある自然数$n$に対しては，行列$A^n$によって曲線$y=-{\displaystyle \frac{1}{2x}}$上の点が常に曲線$x^2-y^2=-1$上の点に移される．このような自然数$n$の最小値を求めよ．

【３】　実数$p>0$と関数$f(x)=x^3-x$がある．$2$曲線$C_1\text{：}y=f(x)\text{，}$$C_2\text{：}y=f(x+p)-p$について，次に答えよ．

(ⅰ)　曲線$C_1$と$C_2$が共有点を$2$個もつときの$p$の範囲を求めよ．

(ⅱ)　実数$\alpha \text{，}$$\beta$に対して

${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}(\beta -x)(x-\alpha )\mathit{dx}={\displaystyle \frac{1}{6}}{(\beta -\alpha )}^3$

を示せ．

(ⅲ)　$p$が(ⅰ)で求めた範囲を動くとき，曲線$C_1\text{，}$$C_2$によって囲まれた図形の面積$S(p)$の最大値を求めよ．

【４】　曲線$C_1\text{：}y=\sqrt{x}|\log x|$と曲線$C_2\text{：}y=\sqrt{x}$がある．ただし，対数は自然対数とする．次に答えよ．

(ⅰ)　関数$f(x)=\sqrt{x}\log x$の増減，極値を調べ，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．ただし，$\underset{x\to +0}{\lim }\sqrt{x}\log x=0$であることを用いてよい．

(ⅲ)　曲線$C_1\text{，}$$C_2$は$x>0$において$2$つの交点をもつ．それらの座標を求めよ．

(ⅲ)　(ⅱ)で求めた交点の$x$座標を$a\text{，}$$b$$\text{（}a<b\text{）}$とする．曲線$C_1\text{，}$$C_2$の$a\leqq x\leqq b$の部分が囲む図形の面積$S$を求めよ．

【１】　$a\text{，}b$を正の実数とし，関数$f(x)\text{，}g(x)$をそれぞれ$f(x)=3x-2a\sin x\cos x\text{，}g(x)=x^2+b{\cos }^{2}x-b$とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a\mathrm{=}3$のとき，$0\leqq x\leqq \pi$における$f(x)\geqq 0$の増減を調べ，極値を求めよ．

(ⅱ)　$a=1$のとき，$x\geqq 0$において$f(x)\geqq 0$が成り立つことを示せ．

(ⅲ)　$x\geqq 0$において$f(x)\geqq 0$が成り立つような$a$の範囲を求めよ．

(ⅳ)　$x\geqq 0$において$g(x)\geqq 0$が成り立つような$b$の範囲を求めよ．

【２】　実数$a$と行列$A=\left(\begin{array}{cc}a-2& -2a\\ 4a& -2a+2\end{array}\right)$がある．$A$が表す座標平面上の点の移動に関する以下の二つの条件を考える．

条件$1:$原点$\mathrm{O}$以外のある点$\mathrm{P}$が$A$によって$\mathrm{P}$自身に移される．

条件$2:$原点$\mathrm{O}$以外のある点$\mathrm{Q}$が$A$によって線分$\mathrm{OQ}$上の$\mathrm{Q}$以外の点に移される．

以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　条件$1$がみたされるとき，$a$の値を求めよ．

(ⅱ)　条件$1\text{，}$条件$2$の両方がみたされるとき，$a$の値を求めよ．

(ⅲ)　$a$は(ⅱ)で求めた値とする．自然数$n$に対して，点${\mathrm{R}}_n$を次のように定める．

・${\mathrm{R}}_1$の座標を$(4,5)$とする．

・$A$によって${\mathrm{R}}_{n-1}$が移される先を${\mathrm{R}}_n\text{（}n\geqq 2\text{）}$とする．

${\mathrm{R}}_n$の座標を$(x_n,y_n)$とするとき，$x_n={\displaystyle \frac{12}{2^n}}-2\text{，}{y}_n={\displaystyle \frac{16}{2^n}}-3$であることを数学的帰納法を用いて証明せよ．

【３】　正の実数$a$と関数$f(x)=|x^2-a^2|\text{（}-2a\leqq x\leqq 2a\text{）}$がある．$y=f(x)$のグラフを$y$軸のまわりに回転させてできる形の容器に$\pi a^2\text{（}{\mathrm{cm}}^3/\mathrm{秒}\text{）}$の割合で水を静かに注ぐ．水を注ぎ始めてから容器がいっぱいになるまでの時間を$T\text{（}\mathrm{秒}\text{）}$とする．ただし，長さの単位は$\mathrm{cm}$とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(ⅱ)　水面の高さが$a^2\text{（}\mathrm{cm}\text{）}$になったとき，容器中の水の体積を$V\text{（}{\mathrm{cm}}^3\text{）}$とする．$V$を$a$を用いて表せ．

(ⅲ)　$T$を$a$を用いて表せ．

(ⅳ)　水を注ぎ始めてから$t$秒後の水面の高さを$h\text{（}\mathrm{cm}\text{）}$とする．$h$を$a$と$t$を用いて表せ．ただし，$0<t<T$とする．

(ⅴ)　水を注ぎ始めてから$t$秒後の水面の上昇速度を$v\text{（}\mathrm{cm}/\text{秒}\text{）}$とする．$v$を$a$と$t$を用いて表せ．ただし，$0<t<T$とする．

【４】　図のような番号のついたマス目と駒とサイコロを使って，以下に示す規則にしたがうゲームを考える．

・駒は最初$0$番のマス目に置く．

・サイコロを投げ，出た目の数だけ駒を$10$番のマス目に向かって進める．

・駒がちょうど$10$番のマス目に止まればゴールとする．

・ただし，$10$番のマス目を超える場合は，その分だけ$10$番のマス目から$0$番のマス目側に戻る．

たとえば，$7$番のマス目に駒があり，出た目が$5$であった場合は，駒は$8$番のマス目に移動し，その次に出た目が$2$であった場合はゴールする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$2$投目でゴールする確率を求めよ．

(ⅱ)　$2$投目の後，$9$番のマス目に駒がある確率を求めよ．

(ⅲ)　$3$投目でゴールする確率を求めよ．

(ⅳ)　このゲームを使って$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$名が対戦する．$\mathrm{A}$から初めて，交互にサイコロを投げて各自の駒を進める試行を行ない，先にゴールした方を勝ちとする．ただし，どちらも$2$投以内でゴールしない場合は引き分けとする．引き分ける確率を求めよ．

(ⅴ)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の駒をそれぞれ$0$番，$k$番（$0<k<10$）のマス目に置いて(ⅳ)と同様の対戦を開始するとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率より$\mathrm{B}$が勝つ確率の方が高くなるための$k$の条件を求めよ．