2011　九州大学　後期

【１】　$a>0\text{，}b>0\text{，}0<\alpha <1\text{，}0<\beta <1$として，以下の問いに答えよ．

1.　初項$a_1=a$と漸化式

$a_{n+1}=\alpha a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義された数列$\{a_n\}$がある．このとき，

$x_n={\log }_{10}{a}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定まる数列$\{x_n\}$の一般項を$n\text{，}\alpha \text{，}a$を用いて表せ．

2.　初項$b_1=b$と漸化式

$b_{n+1}=\beta {b_n}^2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義された数列$\{b_n\}$がある．このとき，

$y_n={\log }_{10}{b}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定まる数列$\{y_n\}$の一般項を$n\text{，}\beta \text{，}b$を用いて表せ．

3.　$a=b=1$のとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}}=0$

を証明せよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

1.　原点のまわりの角$\theta$の回転移動を表す行列を$R_{\theta }$とする．回転$R_{\theta }$によって点$(2,1)$に移されるもとの点$(a,b)$を求めよ．

2.　原点を通り，傾き$\tan \theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の直線を$l$とする．

　また，点$\mathrm{P}(x,y)$を直線$l$に関して対称移動した点を${\mathrm{P}}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$とする．このとき，$x^{\prime }$と$y^{\prime }$を$x\text{，}y$および$\theta$を用いて表し，この移動を表す行列$A_{\theta }$を求めよ．

3.　$x$軸に関する対称移動を表す行列を$B$とする．このとき，$R_{\theta }B{R_{\theta }}^{-1}=A_{\theta }$となることを示せ．

4.　$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}0<\gamma <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

　$2$つの行列の積$A_{\alpha }{A}_{\beta }$はある角の回転移動を表すことを示せ．また$3$つの行列の積$A_{\alpha }{A}_{\beta }{A}_{\gamma }$によって表される移動は決して回転移動を表さないことを示せ．

【３】　座標平面上の楕円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1\text{（}a>b>0\text{）}$について，以下の問いに答えよ．

1.　$x$座標が小さい方の焦点$\mathrm{F}$を極とし，$\mathrm{F}$から$x$軸の正の方向へ向かう半直線を始線とする極座標$(r,\theta )$で表された楕円の方程式$r=f(\theta )$を求めよ．

2.　座標平面上の原点$\mathrm{O}(0,0)$と楕円上の$2$点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$について，線分$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1$と線分$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2$とが互いに直交する位置にあるとする．線分$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1$および$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2$の長さをそれぞれ$r_1\text{，}{r}_2$とするとき，${\displaystyle \frac{1}{{r_1}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{{r_2}^2}}$の値は定数となることを示せ．

【４】　関数$f(x)=-x\sin x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$について，以下の問いに答えよ．

1.　$0<x<\pi$の範囲で，方程式$f^{″}(x)=0$がただ$1$つの解$x=a$をもつことを示せ．

2.　上の1.で存在が示された$a$に対して，$a<x<\pi$の範囲で，方程式$f^{\prime }(x)=-1$がただ$1$つの解$x=b$をもつことを示し，その値$b$を求めよ．また，曲線$y=f(x)$上の点$(b,f(b))$における法線$m$の方程式を求めよ．

3.　上の2.で求めた法線$m$と曲線$y=f(x)$および$y$軸とで囲まれた図形を，$x$軸のまわりに回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．

【５】　$50$円と$100$円の硬貨が$3$枚ずつの計$6$枚と，さいころが$1$個ある．これらの硬貨$6$枚とさいころ$1$個を同時に投げて，表が出た硬貨の合計額にさいころの目の数$n$から$2$を引いた数の絶対値$|n-2|$をかけ合わせた賞金をもらえるものとする．たとえば，硬貨$6$枚すべてが表となり，さいころの目が$6$となった場合，表が出た硬貨の合計額$450$円を$4$倍した$1800$円を賞金としてもらえる．このとき，以下の問いに答えよ．

1.　賞金を全くもらえない確率を求めよ．

2.　もらえる賞金が$500$円以上となる確率を求めよ．

3.　もらえる賞金の期待値を求めよ．