2011　九州大学　前期

【１】　放物線$y=x^2$上の点$\mathrm{P}(t,t^2)$から直線$y=x$への垂線を引き，交点を$\mathrm{H}$とする．ただし，$t>1$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{H}$の座標を$t$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と直線$y=x$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，三角形$\mathrm{PRH}$の面積を$t$を用いて表せ．

(3)　$x\geqq 1$の範囲において，放物線$y=x^2$と直線$y=x$および線分$\mathrm{PH}$とで囲まれた図形の面積を$S_1$とするとき，$S_1$を$t$を用いて表せ．

(4)　放物線$y=x^2$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1=S_2$であるとき，$t$の値を求めよ．

【２】　数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n\text{，}\cdots$は

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{2a_n}{1-{a_n}^2}}\text{，}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$

をみたしているとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_1={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$とするとき，$a_{10}$および$a_{11}$を求めよ．

(2)　$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$の値を求めよ．

(3)　$a_1=\tan {\displaystyle \frac{\pi }{7}}$とする．$a_k=a_1$をみたす$2$以上の自然数$k$で最小のものを求めよ．

【３】　平面上に直角三角形$\mathrm{ABC}$があり，その斜辺$\mathrm{BC}$の長さを$2$とする．また，点$\mathrm{O}$は$4\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$をみたしているとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，点$\mathrm{A}$は線分$\mathrm{OM}$の中点となることを示せ．

(2)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|}^2=10$となることを示せ．

(3)　$4{\left|\overrightarrow{\mathrm{PA}}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{\mathrm{PB}}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{\mathrm{PC}}\right|}^2=-4$をみたす点を$\mathrm{P}$とするとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$の値を求めよ．

【４】　$1$から$4$までの数字が$1$つずつ書かれた$4$枚のカードがある．その$4$枚のカードを横一列に並べ，以下の操作を考える．

操作：$1$から$4$までの数字が$1$つずつ書かれた$4$個の球が入っている袋から同時に$2$個の球を取り出す．球に書かれた数字が$i$と$j$ならば，$i$のカードと$j$のカードを入れかえる．その後，$2$個の球は袋に戻す．

始めにカードを左から順に$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$と並べ，上の操作を$2$回繰り返した後のカードについて，以下の問いに答えよ．

(1)　カードが左から順に$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$と並ぶ確率を求めよ．

(2)　カードが左から順に$4\text{，}3\text{，}2\text{，}1$と並ぶ確率を求めよ．

(3)　左端のカードの数字が$1$になる確率を求めよ．

(4)　左端のカードの数字の期待値を求めよ．

【１】　曲線$y=\sqrt{x}$上の点$\mathrm{P}(t,\sqrt{t})$から直線$y=x$へ垂線を引き，交点を$\mathrm{H}$とする．ただし，$t>1$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{H}$の座標を$t$を用いて表せ．

(2)　$x\geqq 1$の範囲において，曲線$y=\sqrt{x}$と直線$y=x$および線分$\mathrm{PH}$とで囲まれた図形の面積を$S_1$とするとき，$S_1$を$t$を用いて表せ．

(3)　曲線$y=\sqrt{x}$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1=S_2$であるとき，$t$の値を求めよ．

【２】　$a$を正の定数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)=(x^2+2x+2-a^2)e^{-x}$の極大値および極小値を求めよ．

(2)　$x\geqq 3$のとき，不等式$x^3{e}^{-x}\leqq 27e^{-3}$が成り立つことを示せ．さらに，極限値

$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^2{e}^{-x}$

を求めよ．

(3)　$k$を定数とする．$y=x^2+2x+2$のグラフと$y=k{e}^x+a^2$のグラフが異なる$3$点で交わるための必要十分条件を，$a$と$k$を用いて表せ．

【３】　数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n\text{，}\cdots$は

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{2a_n}{1-{a_n}^2}}\text{，}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$

をみたしているとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_1={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$とするとき，一般項$a_n$を求めよ．

(2)　$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$の値を求めよ．

(3)　$a_1=\tan {\displaystyle \frac{\pi }{20}}$とするとき，

$a_{n+k}=a_n\text{，}n=3\text{，}4\text{，}5\text{，}\cdots$

をみたす最小の自然数$k$を求めよ．

【４】　空間内の$4$点

$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(0,2,3)\text{，}\mathrm{B}(1,0,3)\text{，}\mathrm{C}(1,2,0)$

を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る球面の中心$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

(2)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面に点$\mathrm{D}$から垂線を引き，交点を$\mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{DF}$の長さを求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

【５】　$1$から$4$までの数字が$1$つずつ書かれた$4$枚のカードがある．その$4$枚のカードを横一列に並べ，以下の操作を考える．

操作：$1$から$4$までの数字が$1$つずつ書かれた$4$個の球が入っている袋から同時に$2$個の球を取り出す．球に書かれた数字が$i$と$j$ならば，$i$のカードと$j$のカードを入れかえる．その後，$2$個の球は袋に戻す．

始めにカードを左から順に$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$と並べ，上の操作を$n$回繰り返した後のカードについて，以下の問いに答えよ．

(1)　$n=2$のとき，カードが左から順に$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$と並ぶ確率を求めよ．

(2)　$n=2$のとき，カードが左から順に$4\text{，}3\text{，}2\text{，}1$と並ぶ確率を求めよ．

(3)　$n=2$のとき，左端のカードの数字が$1$になる確率を求めよ．

(4)　$n=3$のとき，左端のカードの数字に期待値を求めよ．