2011　福岡教育大学　後期初等教育数学専修

$t^2-(a+d)t+ad-bc=0\cdots$(＊)

を考える．また，(＊)が虚数解$\alpha$をもつとし，$\alpha =p+qi$とおく．ただし，$p\text{，}q$は実数，$i$は虚数単位とする．次の問いに答えよ．

(問1)　$a+d$と$ad-bd$を$p\text{，}q$の式で表せ．

(問2)　$P=\left(\begin{array}{cc}a-p& -q\\ c& 0\end{array}\right)$とおく．

(ア)　$P$が逆行列をもつことを示し，$P$の逆行列$P^{-1}$を求めよ．

(イ)　$PB=AP$を満たす行列$B$を求めよ．ただし，$B$の各成分は$p\text{，}q$の式で表せ．

$\begin{array}{cc}(t+1)x+y-t-2=0& \cdots \text{(1)}\\ (2t+1)x+(t+3)y-4t-3=0& \cdots \text{(2)}\end{array}$

を考える．座標平面上で(1)が表す直線を$l\text{，}$(2)が表す直線を$l^{\prime }$とする．次の問いに答えよ．

(問1)　$t$がどのような値をとっても，$l$が定点を通ることを示し，その定点の座標を求めよ．

(問2)　$t$がどのような値をとっても，$l$は点$\mathrm{A}(1,2)$を通らないことを示せ．また，$l$が点$\mathrm{B}(2,1)$を通るときの$t$の値を求めよ．

(問3)　$t$の値が変化するとき，$l$と$l^{\prime }$の交点の軌跡を求めよ．

(問1)　$p>q$ならば，

${\displaystyle \frac{x^p-1}{p}}\geqq {\displaystyle \frac{x^q-1}{q}}$

が成り立つことを示せ．

(問2)

$\log (2\sqrt{x}+1)\geqq {\displaystyle \frac{1}{3}}\log x+\log 3$

が成り立つことを示せ．ただし，対数は自然対数とする．