2011　高知大学　医学科AO入試

【１】　次の連立不等式

$\{\begin{array}{l}0<x+y<1\\ x^2+y^2<1\\ {\log }_{x+y}(x^2+y^2)\leqq {\log }_{x^2+y^2}(x+y)\end{array}$

の表す領域を$S$とする．このとき，次の設問に答えなさい．

設問１　$S$を図示しなさい．

設問２　点$({\displaystyle \frac{1}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{6}})$が$S$に含まれるかどうか判定しなさい．

設問３　$S$には

$({\displaystyle \frac{1}{m}},-{\displaystyle \frac{1}{n}})$，$m$と$n$は自然数

と表される点が無限に多く含まれることを示しなさい．

【２】　コイン投げの結果にもとづいて，数直線の整数点の上を点$\mathrm{P}$が次に説明するように移動する．

点$\mathrm{P}$は最初は原点にある．コインの表が出る確率は$p$である．ただし，$0<p<1$である．コイン投げで表が出たら$\mathrm{P}$は正の方向に$1$移動する．裏が出たら負の方向に$2$移動する．このような試行を$n$回繰返したときに$\mathrm{P}$のいる位置を$X_n$と定義する$\text{（}n\geqq 1\text{）．}$このとき，$X_n=0$となる確率を$Q_n$とおき，次の設問に答えなさい．

設問１　$Q_1\text{，}{Q}_2\text{，}{Q}_3$をそれぞれ求めなさい．

設問２　$n\geqq 4$のとき，$Q_n$を求めなさい．

設問３　$p={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$X_n$が偶数（符号は問わない）である確率$R_n$を求めなさい．

【３】　次の設問に答えなさい．

設問１　次の連立方程式

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=1\\ y=-2(\sqrt{3}-\sqrt{2})x^2+\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}$

の解のうち，$x\geqq 0$かつ$y\geqq 0$となるものをすべて求めなさい．

設問２　$0\leqq x\leqq 1$に対して，$2$つの関数

$f(x)=\sqrt{1-x^2}$

$g(x)=-2(\sqrt{3}-\sqrt{2})x^2+\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

を用いて，関数$h(x)$を次のように定義する．

$h(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& f(x)\geqq g(x)\text{の場合}\\ g(x)& f(x)<g(x)\text{の場合}\end{array}$

このとき，関数$y=h(x)$のグラフを描き，積分

${\displaystyle {\int }_0^1}h(x)dx$

を求めなさい．