2011　高知大学　前期

【１】　空間ベクトル$\overrightarrow{a}=(-1,3,-2)\text{，}\overrightarrow{b}=(1,-1,0)\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$t$は任意の正の実数とする．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$が垂直になるときの$t$の値を求めよ．

(3)　${\left|\overrightarrow{c}\right|}^2$を$t$で表せ．

(4)　$\left|\overrightarrow{c}\right|$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

(5)　$\left|\overrightarrow{c}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|$となる$t$の値を求めよ．

【２】　関数$f(x)=4^x+4^{-x}-2^{2+x}-2^{2-x}+2$について，次の問いに答えよ．

(1)　$t=2^x+2^{-x}$とおいて，$f(x)$を$t$で表せ．

(2)　$t$の値の範囲を求めよ．

(3)　関数$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

(4)　方程式$f(x)=0$を解け．

【３】　方程式$x^2+y^2-2x+6y-6=0$で表される図形を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　図形$C$を図示せよ．

(2)　直線$2x+3y=k$が，図形$C$を$2$等分するような定数$k$の値を求めよ．

(3)　図形$C$と直線$2x+3y=k$が異なる共有点を$2$個もつような定数$k$の値の範囲を求めよ．

(4)　図形$C$に接し，傾きが$-{\displaystyle \frac{2}{3}}$である直線の方程式を求めよ．

【４】　関数$f(x)=x^2-x-2|x|$について，次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　$y=mx$と$y=f(x)$とが異なる$2$つの共有点をもつような$m$の値の範囲を求めよ．

(3)　$y=mx$と$y=f(x)$とが異なる$3$つの共有点をもつとき，これらにより囲まれる$2$つの部分の面積の和$S$を$m$で表せ．

(4)　$S$の最小値とそのときの$m$の値を求めよ．

【２】　$n$を$2$以上の自然数とする。平面上に距離が$1$である$2$点$\mathrm{O}\text{，}{\mathrm{P}}_0$がある．中心が$\mathrm{O}$で半径$1$の円周上に点${\mathrm{P}}_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$を反時計回りに$\angle {\mathrm{P}}_k\mathrm{O}{\mathrm{P}}_0={\displaystyle \frac{k\pi }{n}}$となるようにとる．三角形${\mathrm{P}}_k\mathrm{O}{\mathrm{P}}_{k-1}$の面積を$T_k$と表し，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{T}_k$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S_2$を求めよ．

(2)　$S_n$を$n$で表せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

(4)　$e_k$を線分${\mathrm{P}}_{k-1}{\mathrm{P}}_k$の長さとおいて，$E_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{e}_k$とする．このとき，$S_n={\displaystyle \frac{1}{2}}{E}_n\sin {\displaystyle \frac{(n-1)\pi }{2n}}$を示せ．

(5)　$\underset{n-\infty }{\lim }{E}_n$を求めよ．

【３】　連続間数$f(x)$に対して，

$g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(f(t)+2)\sin (x-t)dt$

とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^x}(t+2)\sin (x-t)dt$を求めよ．

(2)　$g(x)=\sin x{\displaystyle {\int }_0^x}(f(t)+2)\cos tdt-\cos x{\displaystyle {\int }_0^x}(f(t)+2)\sin tdt$を示せ．

(3)　関数$g(x)$の導関数$g^{\prime }(x)$は$g^{\prime }(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(f(t)+2)\cos (x-t)dt$となることを示せ．

(4)　関数$g^{\prime }(x)$の導関数$g^{″}(x)$は$g^{″}(x)=f(x)-g(x)+2$となることを示せ．

(5)　任意の実数$x$に対して$g(x)=f(x)$が成り立つとき，$f(x)$を求めよ．

【４】　$n$を自然数とし，$\theta$を$\cos \theta =-{\displaystyle \frac{1}{3}}$であるような実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\cos (n+1)x=2\cos nx\cos x-\cos (n-1)x$が成り立つことを示せ．

(2)　$\cos n\theta$は${\displaystyle \frac{m}{3^n}}$という形の分数で表されることを示せ．ただし，$m$は整数で$|m|$は$3$を約数にもたない．

(3)　(2)を用いて${\displaystyle \frac{\theta }{\pi }}$は無理数であることを示せ．