2011　愛媛大学　後期

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　ある街には，図のように東西に$5$本，南北に$6$本の道がある．$\mathrm{A}$地点を出発し，$\mathrm{B}$地点を経由し，次に$\mathrm{C}$地点を経由し，$\mathrm{D}$地点に達する最短の道順は何通りあるか．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$a$は実数とする．不定積分${\displaystyle \int }{e}^{a\log x}dx$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$\stackrel{\text{だ}}{\text{楕}}$円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$に内接する長方形の面積の最大値を求めよ．ただし，$a\text{，}b>0$で，また長方形の$4$辺は座標軸に平行とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　座標平面上の点$(x,y)$に対し，$||(x,y)||$を

$||(x,y)||=\{\begin{array}{ll}\left|x\right|& \text{（}\left|x\right|\geqq \left|y\right|\text{）}\\ \left|y\right|& \text{（}\left|x\right|<\left|y\right|\text{）}\end{array}$

と定義する．このとき不等式

$||(x,y)||\leqq 1$

によって定まる領域を座標平面上に図示せよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(5)　関数$f(x)=\left|x\right|$は，$x=0$において微分可能ではないことを示せ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　四面体$\mathrm{ABCD}$において$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$が垂直となる必要十分条件は

${\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{BC}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{CD}}^2$

であることを示せ．

【２】　次の問いに答えよ．

(2)　$2$次の正方行列$A\text{，}B$が

$A+B=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ -1& 4\end{array}\right)\text{，}A-B=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& -2\end{array}\right)$

を満たすとき，次の行列を成分を用いて表せ．

(ⅰ)　$A^2+2AB+B^2$

(ⅱ)　$A^2-B^2$

【２】　次の問いに答えよ．

(3)(ⅰ)　$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-y$とおいて

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}}dx={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\cos y}{\sin y+\cos y}}dy$

が成り立つことを示せ．

(ⅱ)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}}dx$を求めよ．

【３】　行列$A\text{，}B$を次のように定める．

$A={\displaystyle \frac{1}{10}}\left(\begin{array}{cc}8& 2\\ 7& 3\end{array}\right)\text{，}B={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}7& 2\\ 1& -1\end{array}\right)$

(1)　$BA{B}^{-1}$を求めよ．

(2)　自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．

(3)　数列$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}$を次のように定める．

$\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{x}_{n-1}\\ y_{n-1}\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　このとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$を求めよ．

【４】　$0\leqq x\leqq \pi$において関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{2\cos t}\sin 2tdt$

$g(x)=f(x)+{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{2\cos x}$

を考える．

(1)　$g(x)$の導関数$g^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$u=\cos t$とおいて，$f(x)$を計算せよ．

(3)　$0\leqq x\leqq \pi$における$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．

【５】　図のような平行六面体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$を考える．ただし，$\mathrm{A}(4,-1,2)\text{，}\mathrm{B}(4,4,-2)\text{，}\mathrm{D}(2,4,4)\text{，}\mathrm{E}(-3,-2,1)$とする．

(1)　点$\mathrm{G}$の座標を求めよ．

(2)　対角線$\mathrm{AG}$は三角形$\mathrm{BDE}$と垂直に交わることを示せ．

(3)　三角形$\mathrm{BDE}$の面積を求めよ．

(4)　四面体$\mathrm{ABDE}$の体積を求めよ．