2011　愛媛大学　前期

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=x^2-3x+7-3|x-2|$のグラフをかけ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　方程式${\log }_{5}x-{\displaystyle \frac{4}{{\log }_{5}x}}+{\displaystyle \frac{{\log }_5{x}^3}{{\log }_{5}x}}=0$を解け．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$a>0$とする．関数$f(t)=t(a-t^2)\text{（}0<t<\sqrt{a}\text{）}$の最大値が$2$であるとき，$a$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　正四面体の各面に$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3$の数字が$1$つずつ書かれているさいころがある．このさいころを投げたとき，各面が底面になる確率は等しいものとする．このようなさいころを$2$つ同時に投げ，おのおののさいころの底面に書かれている数の積を$X$とする．$X$の期待値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(5)　$2$つの曲線$y=x^2\text{，}y=-x^2+2x+1$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【２】　次の条件を満たす三角形$\mathrm{ABC}$はどのような三角形か．(1)，(2)，(3)それぞれの場合について，理由をつけて答えよ．ただし，三角形$\mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$に向かい合う辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$で表す．また，$\mathrm{\angle A}\text{，}\mathrm{\angle B}\text{，}\mathrm{\angle C}$の大きさをそれぞれ$A\text{，}B\text{，}C$で表す．

(1)　${\displaystyle \frac{b}{\sin A}}={\displaystyle \frac{a}{\sin B}}$

(2)　${\displaystyle \frac{a}{\cos A}}={\displaystyle \frac{b}{\cos B}}$

(3)　${\displaystyle \frac{b}{\cos A}}={\displaystyle \frac{a}{\cos B}}$

【３】　$0\leqq x\leqq 1$の範囲で関数$f(x)\text{，}g(x)$を

$f(x)=1-|2x-1|$

$g(x)=1-|2|2x-1|-1|$

と定める．

(1)　$g\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\right)$を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq 1$の範囲で$y=f(x)$のグラフをかけ．

(3)　$0\leqq x\leqq 1$の範囲で$y=g(x)$のグラフをかけ．

(4)　連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\geqq f(x)\\ y\leqq g(x)\\ 0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$

の表す領域の面積を求めよ．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}\text{，}\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{AB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．

(1)　$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を表せ．

(2)　$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PS}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{SR}}$を表せ．

(3)　点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標が実数$t$を用いて，それぞれ$(0,0,0)\text{，}(1,2,3)\text{，}(t,1,0)\text{，}(2,t,1)$で与えられているものとする．

(ⅰ)　四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形となるような$t$の値を求めよ．

(ⅱ)　四角形$\mathrm{PQRS}$がひし形となるような$t$の値を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(2)　$a>0$とする．関数$y=(a-x)\sqrt{x}\text{（}0<x<a\text{）}$の最大値が$2$であるとき，$a$の値を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(3)　自然数$n$について，等式

$1+2x+3x^2+\cdots +n{x}^{n-\mathrm{!}}={\displaystyle \frac{1-(n+1)x^n+x^{n+1}}{{(1-x)}^2}}$

が成り立つことを，数学的帰納法を用いて示せ．ただし，$x\ne 1$とする．

【５】　次の問いに答えよ．

(4)　$i$を虚数単位とする．等式

$(2+3i)(5a-2i)={\displaystyle \frac{b}{1-i}}$

を満たす実数$a$と実数$b$の値を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(5)　次の不定積分を求めよ．

【６】　単位行列$E$と行列

$A={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{cc}1& -\sqrt{3}\\ -\sqrt{3}& -1\end{array}\right)$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$A^2=pE+qA$となる実数$p\text{，}q$の値を求めよ．

(2)　自然数$n$に対して，関係式

$E+A+A^2+\cdots +A^{2n-1}+A^{2n}=x_{n}E+y_{n}A$

をみたす実数$x_n\text{，}{y}_n$を，$n$を用いて表せ．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$を求めよ．

(4)　実数$x\text{，}y$をそれぞれ$x=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n\text{，}y=\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$で定めるとき

$xE+yA={(E-A)}^{-1}$

であることを示せ．

【７】　自然数$n$を定数として，さいころを投げる次の競技を行う．この競技は，試行１と試行２からなる．競技者は，はじめに試行１を行う．

　以下の問いに答えよ．

(1)　$n=1$として，試行１のみを行う．得点の期待値を求めよ．

(2)　$n=4$とする．得点の期待値を求めよ．

(3)　$n=30$とする．試行１を行い$X=6$になった．

　このとき，試行１の規則(★)を変更して，競技者は

(a)　得点$7$をえて競技をただちに終了するか

(b)　終了せずに試行２に進むか

どちらか一方を選択できるとする．どちらの選択をする方が得点の期待値が大きいか．

【８】　関数

$f(x)=x\log x-(1-x)\log (1-x)\text{（}0<x<1\text{）}$

について次の問いに答えよ．ただし，必要ならば$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$を使ってよい．

(1)　$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)\text{，}\underset{x\to 1-0}{\lim }f(x)$を調べ，そのグラフをかけ．

(2)　定積分$S(p)={\displaystyle {\int }_p^{1-p}}f(x)dx$を求めよ．ただし，$0<p<{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．

(3)　極限$\underset{p\to +0}{\lim }S(p)$を求めよ．

【９】　関数

$f(x)=\cos x-x\sin x$

$g_n(x)=(x+n\pi )\sin x-\cos x\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

について，次の問いに答えよ．ただし，必要があれば，$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすすべての$x$について$\tan x>x$が成り立つことを用いてよい．

(1)　すべての自然数$n\text{，}$実数$x$に対して$g_n(x)={(-1)}^{n+1}f(x+n\pi )$が成り立つことを示せ．

(2)　自然数$n$に対して，方程式$g_n(x)=0$は$0\leqq x\leqq \pi$の範囲においてただ$1$つの解をもつことを示せ．

(3)　(2)におけるただ$1$つの解を$x_n$とする．$x_n$は$0<x_n<{\displaystyle \frac{1}{n\pi }}$を満たすことを示せ．

(4)　$y_n=n\pi +x_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおく．定積分

$S_n={\displaystyle {\int }_{y_n}^{y_{n+1}}}|f(x\left)\right|dx$

を，$n\text{，}{x}_n$および$x_{n+1}$を用いて表せ．

(5)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{n}}$を求めよ．

志望別問題選択一覧

教育，農，工（環境建設工学科社会デザインコース）学部　【１】，【２】，【３】，【４】

理，工（環境建設工学科社会デザインコース除く）学部　【４】，【５】，【６】，【７】，【８】

医学部　【４】，【６】，【７】，【８】，【９】