2011　香川大学　前期

【１】　$\mathrm{▵ABC}$の外接円の半径は$1$である．この外接円の中心$\mathrm{O}$から$3$つの辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$へ下ろした垂線をそれぞれ$\mathrm{OL}\text{，}\mathrm{OM}\text{，}\mathrm{ON}$とし，

$\sqrt{3}\overrightarrow{\mathrm{OL}}+\overrightarrow{\mathrm{OM}}+(2+\sqrt{3})\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{0}$

が成立しているとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，次の問に答えよ．

1.　$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．

2.　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

3.　$\mathrm{\angle AOB}$および$\mathrm{\angle ACB}$を求めよ．

4.　$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めよ．

【２】　$S_n$は数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和とする．第$n$項$a_n$と$S_n$は

$S_n+n{a}_n=1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

をみたしている．このとき，次の問に答えよ．

1.　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$を求めよ．

2.　$a_n$と$S_n$を$n$を用いて表せ．

【３】　$t$がすべての実数をとるとき，$3$点$\mathrm{A}(t,t^2)\text{，}\mathrm{B}(t,t-2)\text{，}\mathrm{C}(t+\sqrt{3},t^2-t-1)$について，次の問に答えよ．

1.　各実数$t$に対して，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は異なる点であることを示せ．

2.　$\mathrm{▵ABC}$が直角三角形になる$t$をすべて求めよ．

3.　$\mathrm{▵ABC}$が鋭角三角形になる$t$の範囲を求めよ．

【４】　$a\text{，}b\text{，}c$を定数とし，$a>0$とする．$3$次関数$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+1$

の導関数を$f^{\prime }(x)$とする．相異なる実数$p\text{，}q$で定まる$3$つの数

$A={\displaystyle \frac{f^{\prime }(p)+f^{\prime }(q)}{2}}\text{，}B=f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{p+q}{2}}\right)\text{，}C={\displaystyle \frac{f(p)-f(q)}{p-q}}$

について，次の問に答えよ．

1.　$A$を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}p\text{，}q$を用いて表せ．

2.　$A\text{，}B\text{，}C$の大小関係を調べよ．

【５】　$a>1$のとき，連立不等式

$\sqrt{a^2-x^2}\leqq y\leqq a^2-x^2\text{，}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$

で表せる領域を$D_1\text{，}$連立不等式

$a^2-x^2\leqq y\leqq \sqrt{a^2-x^2}\text{，}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$

で表せる領域を$D_2$とする．このとき，次の問に答えよ．

1.　$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$における，曲線$y=\sqrt{a^2-x^2}$と曲線$y=a^2-x^2$の交点をすべて求めよ．

2.　$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$において，$2$つの曲線$y=\sqrt{a^2-x^2}\text{，}y=a^2-x^2$のグラフの概形をかき，$D_1\text{，}{D}_2$を図示せよ．

3.　$D_1\text{，}{D}_2$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積をそれぞれ$V_1\text{，}{V}_2$とするとき，$V_1-V_2$を求めよ．

4.　$V_1<V_2$をみたす$a$の範囲を求めよ．

【１】　放物線$C_1\text{：}y=x^2$と定点$\mathrm{P}(a,b)$（ただし，$a^2<b$）を通る放物線$C_2\text{：}y=-3x^2+2px+q$の交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta$（ただし，$\alpha <\beta$）とする．$2$つの放物線$C_1\text{，}{C}_2$で囲まれた図形の面積を$S$とするとき，次の問に答えよ．

1.　$S$を$a\text{，}b\text{，}p$を用いて表せ．

2.　$S$を最小にする$p$とその最小値を$a\text{，}b$を用いて表せ．

3.　$\mathrm{M}$を線分$\mathrm{AB}$の中点とする．2.のとき，線分$\mathrm{PM}$の長さを$a\text{，}b$を用いて表せ．

4.　2.のとき，点$\mathrm{P}$における放物線$C_2$の接線$l$と直線$\mathrm{AB}$は平行であることを示せ．

【２】　$A={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 5\end{array}\right)$とする．点${\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を次のように定める．

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{，}$

$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{x}_{n-1}\\ y_{n-1}\end{array}\right)\text{（}n\geqq 2\text{）}$

$2$点$\mathrm{F}\text{，}{\mathrm{F}}^{\prime }$の座標をそれぞれ$(\sqrt{2},0)\text{，}(-\sqrt{2},0)$とする．

　このとき，次の問に答えよ．

1.　${\mathrm{P}}_n$と$\mathrm{F}$の距離${\mathrm{P}}_n\mathrm{F}$と，${\mathrm{P}}_n$と${\mathrm{F}}^{\prime }$の距離${\mathrm{P}}_n{\mathrm{F}}^{\prime }$の差を求めよ．

2.　$2$次曲線$C$で，${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_n\text{，}\cdots$がすべて$C$上にあるような$C$の方程式を求めよ．

【３】　曲線$C\text{：}y=e^{-x}|\sin x|\text{（}x\geqq 0\text{）}$がある．このとき，次の問に答えよ．

1.　$I={\displaystyle \int }{e}^{-x}\sin xdx\text{，}J={\displaystyle \int }{e}^{-x}\cos xdx$とおく．$I\text{，}J$をそれぞれ部分積分して，$I$を求めよ．

2.　$2n\pi \leqq x\leqq (2n+1)\pi \text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$の範囲で，曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S_{2n}$を求めよ．

3.　$(2n+1)\pi \leqq x\leqq 2(n+1)\pi \text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$の範囲で，曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S_{2n+1}$を求めよ．

4.　曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }}{S}_k$を求めよ．