2011　徳島大学　前期

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　次の連立不等式を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

${\left({\displaystyle \frac{1}{27}}\right)}^x<3^{5x-2}\text{，}{\log }_9{\displaystyle \frac{3}{x}}>1$

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$0\leqq x\leqq \pi$のとき，次の不等式を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

$\sqrt{3}\sin x-\cos x<\sqrt{3}$

【２】　数字$1\text{，}2\text{，}3$を使ってできる次のような整数の個数を求めよ．ただし，同じ数字を重複して使ってよいものとする．

(1)　$5$桁の整数

(2)　$5$桁の整数で$2$の倍数

(3)　$5$桁の整数で$3$の倍数

(4)　$5$桁の整数で$4$の倍数

(5)　$5$桁の整数で$6$の倍数

【３】　平面上に$\mathrm{▵ABC}$と点$\mathrm{P}$がある．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}+l\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とする．点$\mathrm{P}$が$\mathrm{▵ABC}$の周および内部にあるための条件を$k\text{，}l$を用いて表せ．

(2)　$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，(1)の$k\text{，}l$の値を求めよ．

(3)　$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，面積比$\mathrm{▵PAB}:\mathrm{▵PBC}:\mathrm{▵PCA}$を求めよ．

【４】　$f(x)=x^4-4x^3-2x^2+12x$とする．

(1)　方程式$f(x)=0$を満たす$x$をすべて求めよ．

(2)　関数$f(x)$の極大値を求めよ．

(3)　積分${\displaystyle {\int }_{-1}^1}|f(x)|dx$を求めよ．

【３】　曲線$C$を$y^2-4y-8x+20=0$とする．

(1)　曲線$y^2=8x$を$x$軸方向に$a\text{，}y$軸方向に$b$だけ平行移動して曲線$C$が得られるように，$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　点$(0,t)$を通り，傾きが${\displaystyle \frac{1}{m}}$の直線を$l$とする．直線$l$と曲線$C$が接するとき，$m$の満たす$2$次方程式を求めよ．

(3)　点$(0,t)$から曲線$C$に引いた$2$本の接線は，$t$の値によらず垂直であることを示せ．

【４】　$a>0$とし，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$とする．曲線$C_1$を$y=a{x}^2+n-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$曲線$C_2$を$y=\log x$とする．$C_1$と$C_2$が共有点$(p,q)$をもち，この点で共通の接線をもつとする．

(1)　$a$と$(p,q)$を$n$で表せ．

(2)　$C_1\text{，}{C}_2\text{，}x$軸，および$y$軸で囲まれた部分の面積$S_n$を$n$で表せ．

(3)　(2)で求めた$S_n$に対し，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}}$を求めよ．

【２】　不等式$|x+2y|+|2x-y|\leqq 1$の表す領域を$D$とする．

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　領域$D$における$x-y$の最大値および最小値を求めよ．

(3)　領域$D$における$\left|x\right|-\left|y\right|$の最大値および最小値を求めよ．

【４】　$X={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{cc}\sqrt{6}& 2\sqrt{2}\\ 5\sqrt{2}& 2\sqrt{6}\end{array}\right)\text{，}Y=\left(\begin{array}{cc}-1& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& -2\end{array}\right)$のとき$A=XY$とする．行列$A^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$の表す移動によって，点$(-{10}^8,\sqrt{3}\times {10}^8)$が点${\mathrm{P}}_n$に移るとする．${\log }_{10}2=0.3010$として，次の問いに答えよ．

(1)　$A=k\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$を満たす$k$と$\theta$を求めよ．ただし，$k>0$とし，$\theta$は$0\leqq \theta <2\pi$とする．

(2)　点${\mathrm{P}}_n$が中心$(0,0)\text{，}$半径$1$の円の内部にある$n$のうちで，最小の$n$の値を求めよ．

(3)　不等式$2^8<\sqrt{x^2+y^2}<2^{15}\text{，}y>\left|x\right|$の表す領域を$D$とする．点${\mathrm{P}}_n$が$D$内にある$n$の値をすべて求めよ．