2011　山口大学　後期

【１】　$0\leqq x<{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$のとき，関数$f(x)\text{，}g(x)$を

$f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{4(1+\sin x)}}\text{，}g(x)=\sin x$

とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$f(x)\leqq g(x)$であることを示し，さらに，$f(x)=g(x)$を満たす$x$の値を求めなさい．

(2)　$t=\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}$とおき，置換積分法を使って，$f(x)$の不定積分を求めなさい．

(3)　曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)\text{，}$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めなさい．

【２】　$k$を$10$以下の定数とする．

$a_1=6\text{，}{b}_1=3\text{，}{a}_{n+1}=5a_n+k{b}_n\text{，}{b}_{n+1}=-a_n+k{b}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められた数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$について，数列$\{a_n+b_n\}$が等比数列であるとき，次の問いに答えなさい．

(1)　定数$k$の値を求めなさい．

(2)　数列$\{a_n+b_n\}$の一般項を求めなさい．

(3)　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$の一般項を求めなさい．

【３】　$0<\theta <2\pi$とし，行列$A\text{，}P\text{，}O$をそれぞれ

$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

とおく．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　等式$(A^2-A)P=O$が成り立つとき，$x=y=0$であることを示しなさい．

(2)　$x=1\text{，}y=0$とするとき，等式

$(A^6-A^5+A^4-A^3+A^2-A)P=O$

を満たす$\theta$を求めなさい．